Curso: Cálculo diferencial

5. Desarrollo dinámico del concepto de límite usando cabri

Capítulo anterior: 4 - Representación gráfica de la función
Capítulo siguiente: 6 - Conclusiones

Se construye la recta y = 3x + 4, y se analiza el comportamiento de la función cuando x se aproxima a 1. Para lo que se visualizan en pantalla los diferentes valores que adquiere y (punto O en Power Point) al ir acercando x (punto P en Power Point) al valor seleccionado.

Se puede ver que hay dos maneras de acercarse al punto x = 1: una por la izquierda del punto y otra por la derecha. Se forma una tabla con algunos valores, para ver el comportamiento de 3x + 4  cuando x se acerca a 1, ver tablas 3.1 y 3.2  para ver estos acercamientos.

x	1.905 0	1.799 2	1.719 8	1.587 5	1.481 7	1.375 8	1.322 9	1.243 5	1.190 6	1.137 7	1.084 8	1.058 3	1.005 4
3x+4	9.715 0	9.397 5	9.159 4	8.762 5	8.445 0	8.127 5	7.968 7	7.730 6	7.571 9	7.413 1	7.254 4	7.175 0	7.016 2

                           Tabla 3.1 Valores obtenidos para  y  cuando x se acerca a 1 por la derecha.

x	0.095 0	0.200 8	0.280 2	0.412 5	0.518 3	0.624 2	0.677 1	0.756 5	0.09 4	0.862 3	0.915 2	0.941 7	0.994 6
3x+4	4.285 0	4.602 5	4.840 6	5.237 5	5.555 0	5.872 5	6.031 3	6.269 4	6.428 1	6.586 9	6.745 6	6.825 0	6.983 8

Tabla 3.2 Valores obtenidos para  y  cuando x se acerca a 1 por la izquierda.
Con Power Point  y  el análisis de estas tablas, se puede ver que cuando x se acerca a 1 por la derecha o por la izquierda, 3x + 4 se acerca a 7. Con estos resultados, se construyen dos círculos de radios variables  con los puntos 1  y   7  como centros. Estos radios, se pueden hacer tan pequeños como se desee. Se les llama por las letras griegas      y    . Así, se puede representar en el eje X  un punto de radio    a la derecha del centro 1  como    y un punto a la izquierda . Del mismo modo, se representa un punto en el eje Y arriba del centro 7 como    y abajo   . De este modo se forman los intervalos  [ , ]  y  [ , ] y de acuerdo con el desarrollo teórico de la sección 1.1, esto se puede expresar como     ó      ... 3.1   y        ó     ...   3.2 Con estos intervalos es posible crear dos franjas rectangulares, que se intersectan formando un rectángulo que contiene al punto límite. Solamente resta saber a partir de qué valores de    y  , se cumplen las desigualdades 3.1 Usando Cabri, se actualizan los valores de    y   cuando x se aproxima a 1  y  y  se aproxima a 7, se obtienen los datos de la tabla 3.3.

	2.7150	2.3975	2.1594	1.7625	1.4450	1.1275	0.9687	0.7306	0.5719	0.4131	0.2544	0.1750	0.0162
	0.9050	0.7992	0.7198	0.5875	0.4817	0.3758	0.3229	0.2435	0.1906	0.1377	0.0848	0.0583	0.0054

  Tabla 3.3. Valores obtenidos al moverse los puntos y  y   x  alrededor de los centros  7  y  1 respectivamente. Nótese que  .
Del análisis de la tabla 3.3, se desprende inmediatamente la dependencia entre los radios    y  . Se puede ver que si  , entonces  se verifica la desigualdad   si se escoge    La manipulación del archivo de Cabri,  limite.fig permite cambiar los valores de los coeficientes, así como los signos. La opción Puntero con el número seleccionado, activa una caja donde se puede aumentar o disminuir su valor. Ver figuras 3.1 y 3.2.

Figura 3.1. Con Puntero se selecciona la ecuación.

Figura 3.2. Aparece la caja con  la que se pueden variar los valores.

Se siguen las siguientes preguntas surgidas de las nuevas funciones:

- Al variar x cerca de un valor fijo escogido,  ¿a qué valor se acerca su correspondiente y?
- ¿Cuáles son los centros a tomar como radios de los círculos, y cuáles los radios alrededor de ellos?
- ¿Los radios de los círculos son los mismos o cambian para la nueva función?