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Se sabe representar gráficamente en dos dimensiones al cuadrado la suma de dos números (a + b)² = c² = a² + b² + 2ab.
El cuadrado de c², que representa al número resultante, se puede transformar interiormente en otras figuras geométricas con la condición de que tengan un área equivalente, en su conjunto, al cuadrado de c² resultante original.
Una de las formas consiste en trazar una diagonal en cada uno de los dos cuadrados o rectángulos, construidos para completar el cuadrado de c², de manera que se obtengan cuatro triángulos rectángulos iguales.
Los dos cuadrados, cuando a=b, o los dos rectángulos, cuando a
b, están construidos sobre lados de los dos cuadrados que representan a los dos sumandos. Como consecuencia de lo anterior, se puede proceder a redistribuir los cuatro triángulos rectángulos obtenidos de manera que se respete el cuadrado de c² que representa al número resultante.
Se pueden redistribuir de manera que se forma un cuadrado interior cuya área equivale a la suma de los cuadrados de los dos sumandos (a² + b² = h² = ca² + ca²; h = hipotenusa, ca = cateto). Cuadrado interior cuyos lados están formados por las hipotenusas de los cuatro triángulos rectángulos. Además, los catetos de los cuatro triángulos rectángulos están formados por los dos sumandos (ver gráficos siguientes).
Es decir, "Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo (de cualquiera de los cuatro que forman con su hipotenusa el cuadrado interior) el cuadrado de la hipotenusa (que es el cuadrado interior) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (catetos que son los dos sumandos de (a + b)² = c²)". Y como se puede ver:
(a + b)² = c² = a² + b² + 2ab (a + b)² = c² = a² + b² + 4(ab/2) (a + b)² = c² = h² + 4(ab/2) c² - 4(ab/2) = a² + b² ca² + ca² = h² = a² + b²
Se puede proceder a duplicar los cuatro triángulos rectángulos y se forman ocho triángulos rectángulos iguales. O, lo que es lo mismo, cuatro cuadrados o rectángulos iguales entre sí, e iguales a los dos cuadrados o rectángulos originales que generaron los cuatro triángulos rectángulos. Cuando ab se forma el cuadrado de d², que representa al número que ha de ser igual al resultado de la resta (a - b)² = d². Y como se puede ver:
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