Variables acción-ángulo para sistemas con un grado de libertad

Por la importancia que tiene en diversas ramas de la mecánica, veamos finalmente una transformación especial: es aquella en la que las coordenadas generalizadas van a ser, como el título del apartado indica, la acción J y el ángulo de fase . Como todo sistema de referencia en que una de las coordenadas es un ángulo, el uso de esta pareja de variables será especialmente útil en el caso de sistemas que lleven asociados ejes de simetría.

Se podría aducir que para conseguir esta ventaja ya disponemos de sistemas de referencia más conocidos, pero un vistazo al aspecto que presentaban las hamiltonianas de los ejemplos del capítulo 3 son suficientes, para convencer al más conservador, de las bondades de estas nuevas variables, como al final del apartado se podrá comprobar.

Al igual que sucede en el resto de los capítulos, el entramado elemental necesario para poder atacar esta sección reside en aquella otra donde una vez domadas las transformaciones canónicas, encontrábamos algunas que parecían ayudar en la resolución de sistemas didácticos.

Retomemos la senda abierta en la sección 5.2., e intentemos describir el comportamiento de un oscilador armónico bajo estas nuevas variables. Sin duda, parte del trabajo realizado allí será de utilidad ahora. Necesitaremos saber cómo es el hamiltoniano de un oscilador en una dimensión, así como las coordenadas tal y como quedaron en forma de esféricas, o de polares planas, si así se prefirió. También será necesario recordar la definición de la acción J, y de la del nuevo ángulo, *simbolo.

Usando las expresiones de p, de q y de = H = E obtenidas en los pasos 3, 4 y 5 del apartado 5.2., es decir:

 

y de la definición de la variable acción J cuando el hamiltoniano se conserva, se deduce que:



Por tanto el Hamiltoniano será:



Como vemos, el hamiltoniano es independiente de la coordenada , es decir, esta es una coordenada cíclica. Su momento asociado es entonces constante. La otra ecuación de Hamilton queda:



Es decir, para un sistema holónomo (conservativo), la acción se conserva en el tiempo.

Para encontrar las ecuaciones que transforman q y p en J y  tenemos en cuenta que el ángulo  se puede escribir como , donde  es el ángulo inicial. Sustituyendo esto y el valor de J encontrado más arriba, nos queda: