Transformaciones canónicas

Ecuaciones de transformación

El objetivo que se persigue cuando se transforman unas coordenadas por otras es que resulte más fácil la resolución de algún sistema físico. Como en la formulación de Hamilton las coordenadas cíclicas daban como resultado que sus cantidades de movimiento conjugadas fueran constantes, la integración de las ecuaciones de Hamilton es inmediata. Así, lo que se busca son unas ecuaciones que transformen las variables q y p en unas nuevas Q y P tal que:

Qi = Qi(q, p, t)
Pi = Pi(q, p, t)

Y también nos interesa, por supuesto, que cumplan las ecuaciones de Hamilton, es decir, que sean variables canónicas:

, donde K hace las veces de hamiltoniana, y a veces recibe el nombre de kamiltoniana. En lo que resta de este apartado, que quede claro que la función kamiltoniana es la que nos interesa.

La relación entre ambos sistemas de coordenadas se puede encontrar desde el principio integral de Hamilton. Si recordamos que H = pii - L, el principio toma la forma: . Pues.... también para Q y P:

. Se ha de resaltar que los integrandos no son iguales. En cambio, la variación en los extremos de la integral para ambos debe ser nula, según se vio en el apartado 3.4. Por tanto, para que la transformación sea canónica satisfarán una relación del tipo:

, es decir, si el valor de la lagrangiana es el mismo para ambos sistemas de coordenadas, pero no lo son los integrandos del principio integral, es que a uno de ellos le falta un término diferencial. Aquí, F representa una función que hará de "puente" entre los dos sistemas de coordenadas, llamada función generatriz de la transformación . Son de varios tipos dependiendo de la clase de coordenadas que estemos transformando:

* F1(q, Q,t) que se usa cuando nos encontramos un sistema de coordenadas tal que la coordenada Q es cíclica, y por tanto, no aparece.

* F2(q, P, t) análogamente, cuando la cíclica perseguida es la P. Este tipo de transformaciones no son capaces de efectuar la transformación de permuta, es decir, coordenadas por momentos, o momentos por coordenadas, pero si la de la identidad.

* F3(q, Q, t) como en el primer caso, si es que en el problema no nos aparece la coordenada q. Estas transformaciones y las del tipo 1 no son capaces de la transformación identidad, pero sí lo son de la transformación de permuta,
 
* F4(p, P, t) como en el segundo caso, si es que en el problema no nos aparece la coordenada p.