Solución por el método de Hamilton- Jacobi para el problema del oscilador armónico

Vaya por delante que un oscilador armónico es un sistema conservativo, lo que implica que se conserve H, y por tanto que los dos métodos de resolución sean aplicables. Es por el carácter académico por lo que Goldstein lo ha elegido, y por ser exactamente resoluble Nominemos a este primer método como el "método de la función S".

Método de la función S

Lo que estamos buscando es una transformación canónica que nos dé las expresiones de y  en función de q y p, con lo que se resuelve el problema. Una vez logrado esto, se encuentra la expresión de la función principal de Hamilton "S", es decir, la función generatriz de esa transformación. Para que quede claro, lo que se hace es trabajar con la función S sin tener que calcularla sino a posteriori, y si acaso nos la piden. Se aprovecha por tanto la invariancia formal que tienen las ecuaciones de las transformaciones canónicas para definir las nuevas coordenadas y momentos. Una vez resuelto el problema, se podrá comprobar que S satisface las ecuaciones de la transformación:

*

Paso 1-. Condiciones para la función principal de Hamilton S

Sabemos que la solución S tiene que cumplir que:

La hamiltoniana para un oscilador armónico en una dimensión es:

, es la frecuencia natural del oscilador.

Paso 2-. La función S hace las veces del hamiltoniano. Sustitución de p.

Sustituyendo ahora P = (S/q):  de forma que la condición exigible a S queda:




Ya que de momento S = S(q,t), la teoría de derivadas en ecuaciones parciales nos dice que cuando cada sumando es función únicamente de cada una de las variables, entonces son idénticamente iguales a una constante. Aprovechamos esto para definir :

Paso 3-. Separación de variables. Identificación del hamiltoniano con la energia H = E y aparición de W(q,)





De esta forma, = H = E

De la primera de estas igualdades se obtiene:

Sustituyendo esto en la segunda:

que se puede integrar inmediatamente:



Esta integral es fácil de calcular (aunque es más fácil aún consultar las tablas de Spiegel y Abellanas), pero lo que nos interesa ahora es utilizar la segunda ecuación de Hamilton en las nuevas variables, es decir,
= dS/do (tal y como se dijo arriba, no necesitamos resolver la integral de S: