Nota: Continuamos con la notación simpléctica. Ejemplo 2.

Ejemplo 2:

a-) Encontrar las condiciones que han de satisfacer , , , y  para que la siguiente transformación:



Comprobar que para  la transformación es canónica.

c-.) Encontrar una función generatriz F1(q, Q) para esta transformación.

d-.) Dado el hamiltoniano , encontrar q(t) y p(t) cuando q(0) = 3/2 y p(0) = 1

Aplicaremos la condición de canonicidad 



Incidentalmente, en este punto ya es fácil (ch2x-sh2x=1) ver que se cumplen las condiciones del apartado b). Recordando con unas tablas (Spiegel y Abellanas) las fórmulas de adición de las funciones hiperbólicas, se puede hacer un poco más compacta y simétrica esta expresión:



Cuando  se obtiene:

 Por tanto, esta transformación es canónica.

Escribiendo ahora p y P en función de q y Q en esta transformación particular, e integrando, se obtiene la función generatriz F1:



Para encontrar unas expresiones de q(t) y p(t), se acude a las ecuaciones de Hamilton y a la hamiltoniana que se nos ofrece:



Resolviendo para q(t) y p(t):

 

donde A y B son las constantes de integración. Se ha dejado para más tarde la tarea de eliminar la dependencia de p respecto de q. Imponiendo ahora las condiciones iniciales se obtienen dichas constantes, y posteriormente, las expresiones buscadas:



donde ya finalmente se ha eliminado la dependencia que nos faltaba, quedando p en función únicamente de t. Fijémonos ahora de nuevo en los subíndices. Sería una gran ventaja que los de los elementos de alguna matriz fueran a corresponder con los de los corchetes de Poisson respecto de las variables canónicas. Haciendo corresponder dichos índices, se define la matriz corchete de Poisson de dos funciones cualquiera (u, v), de las variables canónicas (q, p) de la manera que sigue:



Es decir, cada elemento Pjk estará conformado por el corchete de Poisson de dichas jk funciones. Como es bien sabido, las parejas de subíndices de los elementos de una matriz se crean a partir de los subíndices de dos vectores a los que se ha efectuado un producto diádico, y en este caso cada uno tiene 2N componentes. Se roza de esta manera el álgebra de tensores, y se abre una puerta para su exploración distinta de la puramente matemática, y que debemos hacer discurrir hacia la geometría subyacente en el álgebra de Riemann y en la Relatividad General. Recuérdese que desde este enfoque las matrices representan a operadores.

Con una nomenclatura similar a la anterior se define la matriz corchete de Lagrange, en la que los coeficientes de la matriz L están formados por los corchetes de Lagrange de dos funciones:



Veamos de una forma algo más detallada cómo se ve la relación existente entre estos dos corchetes bajo la notación simpléctica. Para cualquier pareja de funciones (uj, uk) de las variables canónicas (qi, pi), donde  los elementos de la matriz  serán:

 y en general



De la misma manera se escriben los coeficientes de la matriz L mediante los corchetes de Lagrange:



Veamos ahora cómo es la matriz , utilizando las propiedades de los corchetes:



Es decir,  es una matriz antisimétrica, luego:



Esta matriz se puede "visualizar" también de la siguiente manera: Sea uk la matriz columna de orden 2N formada por todas las funciones uk. Despliéguese ahora para cada función una fila con 2N elementos, pertenecientes a cada coordenada qi y pi, con lo que obtenemos una matriz u cuadrada de orden 2N. Entonces el corchete de Poisson:



Lo mismo se aplica a la matriz L:



Aplicando entonces la relación existente entre estos dos corchetes de Lagrange y de Poisson:



Para intentar justificar este resultado, extendamos los elementos de la matriz t L para ver que forma tienen:

 y en general:



Como se ve, hay que efectuar el producto de las dos series finitas sobre las coordenadas y posteriormente comprobar que se cumple:

 donde es la delta de Kronecker. A pesar de la complejidad de la notación, las propiedades de los corchetes de Poisson hacen de su resolución una cuestión más de organización que de dificultad matemática.