Nota: Continuamos con la notación simpléctica. Ejemplos para describir el estado de un sistema.

En los siguientes ejemplos se muestra cómo se utilizan estas propiedades para describir el estado de un sistema, para ilustrar una breve aproximación a la teoría de perturbaciones, y para averiguar si una transformación es canónica.

Ejemplo 1:

a.) Describir explícitamente las ecuaciones de Hamilton en la notación simpléctica. Tal y como se apuntó más arriba, la forma que se obtiene es:



Evidentemente, se trata de definir la matriz J. Llamémosle Z para recalcar el hecho de que aún no la conocemos. Usemos también el símbolo x para poner de relieve que tanto las posiciones como sus momentos asociados son tratados equitativamente en la formulación hamiltoniana. Con estas consideraciones, la ecuación que estamos buscando es:





En vista de cómo son las ecuaciones de Hamilton, por simple inspección se puede construir la matriz Z:



pero estos son los coeficientes que tienen cada caja de la matriz  J. Así que en notación simpléctica:



b.) Si la solución ya conocida x es una constante x = , y se le perturba con un término infinitesimal, es decir, despreciable salvo a primer grado, de la forma (t) = i+ y(t), ¿qué ecuación en función de y, J, y un tercer factor ha de satisfacer entonces la variación temporal de la perturbación :

Como la solución no perturbada es constante, al hacer un desarrollo de Taylor para y(t) en torno a xi = i enseguida se aprecia que los primeros términos no nulos son los de segundo grado. En este caso, podemos decir que el término general de los coeficientes de la matriz es:



La misma teoría de transformaciones define otro determinante, el Hessiano H, cuyos coeficientes vienen a corresponder con los recién obtenidos. Una vez realizados los cálculos, el aspecto de la matriz hessiana H puede ser la siguiente, para un sistema holónomo conservativo:



Utilizando esta matriz, la condición que ha de cumplir  será: