La notación simpléctica

Se llama notación simpléctica aquella que utiliza el lenguaje matricial, debido a su concisión y su potencia para operar con una buena cantidad de información de manera automática. Veamos suavemente qué significan y cómo se van ordenando los distintos coeficientes dentro de esa caja que llamamos matriz. La primera pista hemos de buscarla en la apariencia que tiene el producto desarrollado del corchete de Poisson. Sin duda se puede expresar como un determinante:



La última igualdad pone de manifiesto que este es el determinante jacobiano de una transformación, tal y como se estudia en los cursos de álgebra lineal de primer ciclo. Para dar el siguiente paso es necesario el teorema de Liouville. Este teorema adquiere pleno significado dentro de la Mecánica Estadística, y será en esa parte donde se discuta. A grandes rasgos, dice que la evolución temporal del volumen fásico V de un estado de un sistema conservativo es constante en el tiempo.

Si , es la densidad de estados (N), entonces:

. Y si esa densidad D no depende explícitamente del tiempo, es decir, en una situación de equilibrio, entonces:

.

Pues bien, si no ha de variar el volumen fásico en una transformación canónica, el determinante jacobiano debe valer la unidad, ya que es precisamente el valor del determinante jacobiano el factor por el cual está relacionado cierto volumen en las coordenadas iniciales, con el correspondiente volumen en las coordenadas finales. Cuando las funciones (u, v) son las ecuaciones de transformación en las nuevas variables (Q, P) este teorema permite discernir sobre si una transformación es canónica o no. Es decir, la condición de canonicidad en la notación simpléctica queda:



Hay otra manera más de expresar el corchete de Poisson, esta vez utilizando matrices. En efecto, es fácil ver que se cumple que:



donde n (recuérdese que los vectores y las matrices se escriben en negrita) representa cada pareja de coordenadas (q, p), y J es una matriz antisimétrica compuesta por 4 cajas, cuyos coeficientes son unos y ceros. Esta matriz es fácil y conveniente recordarla. Como ejemplos de su importancia, válganos decir que las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse mediante esta matriz en la forma compacta:

 y que las coordenadas transformadas también lo hacen:



Cuando tengamos dos parejas de coordenadas (dos grados de libertad, dos dimensiones, etc...), el corchete de Poisson correspondiente de dos funciones (u, v) de esas dos parejas tiene esta forma:


para tres grados de libertad ya se ve que:



Entonces, para N grados de libertad: