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La Routhiana
Esta es una variante de la función hamiltoniana que es
especialmente útil cuando se tienen una o varias coordenadas
ignorables. En esencia es el método natural a seguir una vez que se
conocen las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la
mecánica, pues aprovecha las ventajas que la formulación de
Hamilton ofrece en cuanto a las coordenadas cíclicas se refiere, y
utiliza la formulación lagrangiana para el resto. Para empezar a
utilizar este método se define la función R, llamada función
de Routh o Routhiana, y que por tanto es una función
mixta de q,
,
p y t, de la siguiente manera:
donde:
- 1< s< n
- Hasta el índice s son coordenadas "normales".
- A partir del s+1 son coordenadas cíclicas.
Obsérvese que el sumatorio está definido a partir de
s+1.
Entonces la diferencial de R:
Obsérvense de nuevo los índices ya que aquí está la dificultad. Se
ha de tener en cuenta que:
* El término ino de la forma k dpk no
aparece porque la Routhiana no está definida para todo el índice
"k" sino para los posteriores al índice
"s", y las s
terminan precisamente en este índice.
* Los sumandos hasta el índice s (coordenadas "normales")
provienen todos de la lagrangiana, ya que el primer sumatorio está
definido a partir del índice s+1. Por esta razón se puede
poner:
Como por definición =
dq/dt, esto es lo mismo que:
, es
decir, R obedece las ecuaciones de Lagrange para las
coordenadas no ignorables. Igualmente se podría decir que R
sustituye a la lagrangiana L.
, del
tercer sumatorio y 
,
del primero, ya que el término que contiene a d
k
no está definido para estos subíndices. Es decir, R obedece
las ecuaciones de Hamilton para las coordenadas ignorables.
Igualmente se podría decir que R sustituye a la hamiltoniana
H, en lo referente a dichas coordenadas cíclicas.
Recordando ahora la definición de coordenada cíclica o ignorable,
que era aquella que no aparecía explícitamente en la lagrangiana, y
por tanto no va a aparecer ni en la hamiltoniana ni en la
Routhiana, y que de la formulación de Hamilton se deducía que la
cantidad de movimiento conjugada pi (i > k) a
la coordenada qi es una constante (que
llamaremos 
s+i),
podemos definir finalmente a la función Routhiana R como una
función únicamente de las coordenadas y de sus velocidades
generalizadas, más el tiempo, es decir:
El problema se ha reducido a un problema de lagrangianas para las s
coordenadas "normales" mientras que las coordenadas
ignorables son todas constantes, y merecen como nunca su nombre
(ignórense, pues). Como ejemplo veamos la Routhiana que obedece una
partícula que se mueve en un plano y en un campo de fuerzas central
que derivan de un potencial V(r):
Paso 1 : Lo primero es obtener la lagrangiana en coordenadas
polares planas (r,
):
Paso 2 : Escribir las cantidades de movimiento conjugadas
de las coordenadas ignorables. En este caso es , y la
cantidad de movimiento conjugada a dicha coordenada será un momento
angular constante l, es decir, los índices del sumatorio serán n =
2 (estamos en un plano), s = 1(sólo hay una coordenada no cíclica).
Las coordenadas generalizadas son q1 = r, y
q2 =:
Paso 3: Escribir la Routhiana en función de
r, 
y
, es
decir, introduciendo las coordenadas ignorables:
, esto
es, la suma de los productos s
ps para cada coordenada ignorable, menos la
lagrangiana original.
Paso 4 : Escribir la Routhiana en función de
r, , y l,
es decir, sustituyendo las coordenadas ignorables por las
constantes que lleven asociadas: Ahora ya se puede usar esta
función para la coordenada que no era ignorable, es decir,
"r", como la lagrangiana, y las ecuaciones de Lagrange para
hallar las ecuaciones del movimiento.
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