Epílogo

Como se ha podido comprobar, existe una formulación de la mecánica más potente que la que pudo desarrollar Isaac Newton con los métodos matemáticos de los que se disponía en su época. Mientras que la formulación newtoniana hace hincapié en una representación euclidiana del mundo, y donde un punto material "posee" características propias de su estado, como la cantidad de movimiento, energía y momento angular, hemos pasado a trabajar en un espacio de fases, construcción matemática abstracta multidimensional donde el espacio euclidiano en el que se desarrollaba la mecánica newtoniana queda reducido a la proyección correspondiente a las coordenadas espaciales.

Hemos pasado también de utilizar el álgebra vectorial, la geometría y los datos experimentales para encontrar una explicación de ciertas leyes naturales, a la deducción de estas mismas leyes a partir de los principios matemáticos simples que cumple una función escalar, que además es fácilmente definible. La lagrangiana se convierte entonces en una fuente de la cual, mediante las derivaciones respecto a la variable que nos interese, podemos obtener toda la información que necesitemos.
 
Yendo un escalón más arriba, la construcción del hamiltoniano requiere que una gran parte de la información física relativa a un sistema sea puesta en juego antes de determinar qué es lo que va a ocurrir a continuación.
En este sentido, cada término que se añade al hamiltoniano debido a las posibles interacciones electromagnéticas o nucleares contribuirá en su medida a las ecuaciones del movimiento, incluso con sus propias variables, a las que se habrá de dar cabida en el espacio de las fases.

Se evitan así engorrosos cálculos por separado, puesto que el uso de las coordenadas generalizadas y la formulación hamiltoniana hacen que el tratamiento para cada variable sea idéntico al de las demás.

Las constantes del movimiento surgen de manera natural cuando se sigue avanzando en la formulación hamiltoniana. La condición de separabilidad para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que obliga a las funciones S y W surgidas del hamiltoniano desemboca en la inevitabilidad matemática de la aparición de estas constantes.

La consecuencia que sigue a esto es que un problema concreto será más fácil de resolver cuantas más constantes del movimiento se hayan podido determinar, y la más deseable será en la que lo consigamos con todas.

Para alcanzar este objetivo, y ya que estamos tratando con coordenadas generalizadas, probamos con una transformación de coordenadas de las de toda la vida, teniendo en cuenta que en todo momento tenemos que efectuar isometrías, y por tanto tales transformaciones han de ser canónicas.
 
La condición por todos conocida que ha de cumplir su determinante jacobiano se puede escribir de manera muy compacta mediante los corchetes de Poisson, de forma que cuando intentamos transformar unas coordenadas (magnitudes), inevitablemente también transformamos el hamiltoniano, y tales corchetes no van a expresar sino la compatibilidad de las distintas constantes del movimiento con dicho hamiltoniano, es decir, si las magnitudes que queríamos transformar en constantes efectivamente lo han hecho.

Finalmente, la mecánica clásica no es capaz de describir correctamente, como es sabido, la complejidad del mundo cuántico. Sin embargo, la mecánica cuántica usará los conmutadores cuánticos, equivalentes a los corchetes de Poisson, para formular de una manera muy compacta las leyes de conservación y las ecuaciones del movimiento de aquellos sistemas a los que la mecánica clásica no llega.

Como contrapartida, la invariancia de los corchetes de Poisson asegura que estas leyes cumplen con el principio de correspondencia, y serán válidas, y por tanto equivalentes, a las obtenidas por otros medios en la aproximación clásica. Tirso Cano Navarro, Seneca Madrid, diciembre 2007.

Nota: "Con este capítulo llegamos al final de la segunda parte de las dos partes en las que esta dividido este curso. Podrás encontrar los enlaces las demás entregas de este trabajo en la página de presentación del curso".