Obtención de las ecuaciones de Hamilton a partir de principios variacionales

Veamos un ejemplo de cómo y porqué se verifica esto:

Sea H(qi, pi) el hamiltoniano de un cierto sistema de n grados de libertad (n = 1,2,...,n), cuya acción J está descrita por:



* Parte a) Mostrar que las pequeñas variaciones que hacen que pi -> pi + pi y que qi = qi + qi pueden dejar invariable la acción J, a primer orden en qi y pi, si las variables qi y pi satisfacen las ecuaciones de Hamilton.

La variación en J, J, es evidentemente: J = J(qi + qi,pi + pi) - J(qi,pi)

Aplicado esto a la integral, ésta queda:



El decir a primer orden significa que se despreciará el término de la forma pi i. Teniendo en cuenta además la definición de derivada parcial de una función de dos variables, lo anterior es aproximadamente lo mismo que:



Como queremos que se vaya asemejando a las ecuaciones de Hamilton, tenemos que hacer algo con los términos que incluyen al amiltoniano. El primero de ellos ya está en la forma deseada. Para ver cual es la dependencia total respecto de cada qi hemos de resolver primero el "asunto" del sumando piqi. Integrados por partes:



Sustituyendo y reagrupango:



Los dos últimos sumandos ya están en la forma que queríamos. Ahora se puede concluir que si cada qi y pi satisfacen las ecuaciones de Hamilton, entonces la acción queda invariada cuando:
 
, que no es otra cosa sino el principio de D´Alembert.

* Parte b) Impongamos ahora las condiciones q(ti=0)=0 y q(tf)=0 para cumplir de manera obvia el principio de D´Alembert, y apliquémoslo al siguiente hamiltoniano  en una dimensión. ¿Para cuáles tf se cumple?:

Una vez comprobado que las qi y las pi son variables canónicas, se pueden resolver las ecuaciones de Hamilton:



Con las condiciones iniciales q(ti=0)=0 y q(tf)=0 esto se reduce a:
 


Parte c) Para estas soluciones, que tienen de característica especial que se anulan en los extremos y este mismo hamiltoniano...¿Cuánto vale la acción J?

Sustituyendo directamente en la integral las ecuaciones y los valores de t que hemos hallado más arriba, y resolviendo:


Es decir, la familia de soluciones que se anulan en los extremos tiene acción nula.