Nota: Continuamos con los los pasos de los ejemplos de separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi

Paso 3-. Obtención de las nuevas coordenadas 1 y  usando la función característica de Hamilton W como si fuera el Hamiltoniano.



Si identificamos 1 = E,  = l, y recordamos también que i = Qi, la primera de estas ecuaciones es la solución encontrada en el capítulo 3 del  Goldstein para el problema de los dos cuerpos (ecuación 3-18, fuera de programa):



Cuando disponemos que  = , 2= 0, y hacemos el cambio de variable  la segunda de estas ecuaciones nos da la ecuación de la órbita (ecuación 3-37, fuera de programa):



Para que quede aún más claro el proceso de separación de variables, analicemos este mismo ejemplo sin dar por sentado que el movimiento se va a efectuar en un plano. Usaremos entonces coordenadas esféricas para reflejar el hecho de que el movimiento nos es, en principio, desconocido. En este sistema de coordenadas la hamiltoniana H y la función característica de Hamilton W tienen la forma:



Según se puede ver, en la hamiltoniana no aparece la coordenada , por tanto esta coordenada es cíclica, y esto implica que p=  = cte, y entonces el sumando correspondiente a dicha componente es W() =.

Así que la ecuación de Hamilton-Jacobi, sabiendo ya que

, nos queda:



Como cada sumando es función únicamente de una variable, cada uno de ellos es igual a una constante. Por conveniencia, definimos como 2 dicha constante. Esto es:

 y finalmente:



Estas ecuaciones se pueden resolver para W, obteniéndose Wr(r) y W() respectivamente, mediante cuadraturas, para posteriormente encontrar las ecuaciones del movimiento utilizando las ecuaciones de transformación.

Cada una de las tres constantes de integración necesarias tiene su significado físico claro como consecuencia de los diversos teoremas o leyes de conservación:

 como ya se había mencionado antes. Obsérvese que la última ecuación es entonces una forma de enunciar el teorema de conservación de la energía.

, es el momento cinético alrededor del eje polar, es decir, la tercera componente del momento angular Lz es constante.

, es el cuadrado del módulo del momento angular, que también es constante.

Cuando se sustituyen los valores de p y de p en la hamiltoniana se descubre que el movimiento se produce en un plano. Efectivamente:



Es decir, el movimiento se describe únicamente con dos coordenadas. Comparando esta hamiltoniana con la anterior, obtenida en el caso del uso de coordenadas polares planas, se puede identificar a  = p = l, el módulo del momento angular.