Corchetes de Poisson

Esto de los corchetes de Poisson es otra manera, más compacta y genérica, de establecer las leyes de conservación y las ecuaciones del movimiento de un sistema. Abre el paso a la formulación más rigurosa de la mecánica cuántica, donde las distintas magnitudes físicas están representadas por operadores matriciales, según la visión de Heisenberg de dicha mecánica, así que el corchete de Poisson obedece ese tipo particular de álgebra no asociativa que se llama álgebra de Lie. El corchete de Poisson de dos funciones, que ahora llamaremos "u" y "v", respecto de las variables canónicas p y q se define como:



Sean ahora u(q,p), v(q,p). Los corchetes entonces cumplen las siguientes propiedades:



De una manera general, las propiedades que cumplen son:



La identidad de Jacobi quiere decir que "la suma de las permutaciones cíclicas de los corchetes de Poisson dobles de tres funciones es cero", y que se cumplirá siempre que tales funciones posean derivada segunda continua. Esta es una propiedad importante, necesaria para deducir las ecuaciones del movimiento, como se verá en el siguiente apartado. La ventaja que ofrece esta formulación de la mecánica es que los corchetes de Poisson son invariantes ante cualquier transformación canónica, con lo que se constituye entonces en una herramienta poderosa que se ha de considerar cuando se efectúen dichas transformaciones.

4.3-. Ecuaciones del movimiento y teoremas de conservación

Sea una función u(q,p,t). Entonces su derivada total:



Usando las ecuaciones de Hamilton:

, pero según lo que acabamos de ver:

, de manera que cuando la función u(q,p,t) es una constante del movimiento, y por tanto

(atención al cambio de orden dentro del corchete)

"El corchete de Poisson de H con cualquier constante del movimiento es igual a la derivada explícita de esa constante respecto del tiempo", así que si la función u no contiene al tiempo, evidentemente tendremos:



Como caso particular, pero importante, veamos qué pasa cuando la función u es una de las variables canónicas q o p:



Obtención de las ecuaciones de movimiento de un sistema siguiendo el método de los corchetes de Poisson.

La ecuación diferencial , obtenida más arriba admite como solución formal el desarrollo de Taylor en torno a las condiciones iniciales t =t0:

, o bien, según acabamos de ver ahora (recuérdese que la derivada respecto a t de algo, es el corchete de ese algo con la hamiltoniana):

, y se acaba la serie a partir del término que resulte ya constante.
Apliquemos esto como ejemplo a una partícula de masa "m" que se mueve uniformemente acelerada con aceleración "a" en una dimensión, con coordenadas generalizadas "p" y "x", y que por tanto su hamiltoniana es:



La ecuación del movimiento que buscamos es de la forma x(t):



Los corchetes de Poisson necesarios se obtienen fácilmente:



Como "a" es constante, las derivadas de orden superior son todas nulas y aquí acaba la serie. Sustituimos ahora los valores obtenidos en el desarrollo de Taylor, y finalmente obtenemos:

, que es la reconocible ecuación de un movimiento uniformemente acelerado.

Teorema de Poisson

Es ahora cuando la identidad de Jacobi empieza a adquirir importancia. Apoyándose en ésta, se enuncia el teorema de Poisson:



"El corchete de Poisson de dos constantes del movimiento es también una constante del movimiento".