Teoremas de conservación y propiedades de simetría

Los teoremas de conservación que se demuestran aquí son los correspondientes del primer capítulo, traducidos al lenguaje de las coordenadas generalizadas. De momento, conocemos como son las expresiones de dichas magnitudes, q para las coordenadas, y  para las derivadas respecto del tiempo. Vayamos introduciendo ahora las restantes para enunciar tales teoremas:

Cantidad de movimiento generalizada p.

Consideremos primeramente un potencial que sólo dependa de las posiciones qi. Se cumplirá entonces que:

, es decir, definimos p:

"Cantidad de movimiento generalizada o cantidad de movimiento conjugada a la coordenada q".

De manera que podemos enunciar el siguiente: Teorema de conservación del momento lineal

"cuando  "

Hay que tener cuidado con el siguiente aspecto: como p se define a partir de la lagrangiana, no siempre va a corresponder al caso más conocido de la cantidad de movimiento mecánico p = mv, por ejemplo una partícula cargada en el seno de un campo eléctrico. Aquí la lagrangiana es de la forma:

donde: "e" representa la carga eléctrica (q) es el potencial eléctrico escalar "A" es el potencial vectorial eléctrico, y por tanto p:

, o bien, la cantidad de movimiento mecánica mas la electromagnética.

Coordenadas cíclicas

Esta es una de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no se ve. Cuando en una lagrangiana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca  , diremos que tal coordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es que si en L no aparece qi:

, es decir:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se conserva".

Otra consecuencia: como  entonces , pero si esta q es cíclica:

, es decir: "La componente de las fuerzas aplicadas correspondiente a una coordenada cíclica es 0".

Una característica especial tienen las coordenadas que expresen una rotación. Si una de tales coordenadas es cíclica, entonces la componente de L según el eje de rotación se conserva, como por ejemplo, se conserva Lz cuando la coordenada  de unas coordenadas cilíndricas (r,,y,z) es cíclica.