Teorema de conservación de la energía total. Función energía

Hasta ahora hemos visto que la función lagrangiana L es la más importante, o la de rango superior, ya que es una fuente de las ecuaciones del movimiento de un sistema. Es lógico entonces pensar que su derivada respecto del tiempo estará implicada en algún teorema de conservación importante. En este caso, la derivada total de la lagrangiana respecto del tiempo es:

, pero según las ecuaciones de Lagrange:

. Poniendo esto en lo anterior y recordando que por definición :

, pero el término general del sumatorio no es más que la aplicación de la regla de la derivada del producto , luego:

, o lo que es lo mismo:



Se define ahora la función energía h:

, de tal manera que tenemos como ley de conservación:



A esta ecuación se le conoce como integral de Jacobi, y es una de las integrales primeras del movimiento. Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, entonces y h se conserva.

¿Cuándo será la función energía h la energía total del sistema?. Bien, la variación de h está relacionada con la de la lagrangiana, es decir, con la energía cinética T y con la energía potencial V. Más arriba se describió como la energía cinética T se descompone en tres contribuciones T0, T1 y T2, de manera que la lagrangiana también tendrá tres contribuciones de la forma:

, donde ahora L1 es una función homogénea de primer grado en  y L2 es una función homogénea de segundo grado en .

La forma que tiene la función h sugiere el uso de un teorema de Euler del cálculo avanzado, que dice que para una función f homogénea de grado n se cumple que:

, aplicando esto a la función energía h: , donde se ha tenido en

cuenta que L(q,,t) = L0(q,t) + L1(q, , t) + L2(q, , t) y finalmente: .

Ahora bien, si T no depende explícitamente de qi, o lo que es lo mismo, la transformación de coordenadas y momentos a coordenadas generalizadas no depende explícitamente del tiempo, entonces T2 = T, y por tanto
L2 = T. Si además el potencial no depende de las velocidades generalizadas, L0 = -V, y así nos queda:
h = T + V, es decir, la energía total.

Así que la función h coincide con la energía total E cuando el potencial no depende de las  , y cuando la energía cinética no contiene al tiempo como variable explícita (no posee términos lineales (T1) en las ).