Principios variacionales y ecuaciones de Lagrange

Principio de Hamilton

En el capítulo anterior veíamos cómo las ecuaciones de Lagrange surgían de un principio diferencial (principio de D'Alembert), a través del uso de derivadas. Si echamos mano de la teoría de campos (cálculo vectorial, análisis matemático de 2º curso), recordaremos inmediatamente que todo lo que se podía expresar con los gradientes, divergencias y rotacionales, tenía su contrapartida en forma integral. Esto se verificaba, por ejemplo, con el teorema de Gauss aplicado a las ecuaciones de Maxwell. Así que no es extraño que también haya un principio integral.

El principio integral de Hamilton dice que:

"el movimiento del sistema entre los tiempos t1 y t2 es tal que el valor de la integral curvilínea.

donde L = T-V es la lagrangiana, tiene un valor estacionario para el movimiento correcto".

A la integral J se le llama integral de acción.

Por valor estacionario entendemos que es aquel para el cual J = 0, esto es, que el valor de la integral curvilínea cuando recorre el camino correcto no varía respecto de los caminos vecinos infinitesimalmente próximos (al menos, cuando estos infinitésimos son de primer orden).

Técnicas del cálculo de variaciones

En este apartado se recogen tres ejemplos famosos del uso del principio integral de Hamilton. Se encuentran las ecuaciones del movimiento igualando a cero la derivada de cierta función, es decir, una condición de extremo, y usando el:

Lema fundamental del cálculo de variaciones:

, para cualquier función arbitraria (x) continua al menos hasta su derivada segunda, entonces M(x) ha de ser idénticamente nula en el intervalo (a,b)".

Identifiquemos ahora estas dos funciones. Veámoslo en  una dimensión para no sobrecargar los cálculos
(y = fx) representará entonces el camino correcto, no y = f(t)). Con estas condiciones, de una manera general, la lagrangiana será de la forma

    

Hagamos variar entonces el camino correcto y(x) con un parámetro pequeño (x), de manera que para cualquier variación ocurra que y = f(x,). Para aplicar el principio integral de Hamilton, encontramos una J:

 
Lo que se está buscando es J sea estacionario duando varía. Esto se expresa, naturalmente,como :



Realizando la derivación bajo el signo integral y cancelando términos nulos, se obtiene finalmente:


Comparando esto con el lema fundamental del cálculo de variaciones:

 y si M(x) es idénticamente nula:



Esta forma se llama ecuación de Euler-Lagrange en una dimensión (se parece mucho a la ecuación de Lagrange), y expresa la condición de mínimo buscada.

Así que cuando nos propongamos usar este método, fijaremos nuestra atención sobre la función f, ya que si cumple la ecuación anterior entonces el lema fundamental del cálculo de variaciones nos asegura que J es estacionaria. Veamos ahora los tres ejemplos: