Mecánica de un sistema de partículas

Vamos añadiendo algo de complejidad al mundo. A fin de cuentas, todos tenemos la certeza de que en el Universo, además de uno mismo, existen a las menos otras partículas. Supongamos de momento que la interacción entre ellas y con nosotros se rige por la tercera ley de Newton en su formulación débil, es decir, la ley simple de la acción y la reacción. Demos por cierta, también, la existencia de fuerzas exteriores, de origen cualquiera y distinto al de las interacciones entre partículas. Aplicada a nosotros, la segunda ley de Newton toma la forma siguiente:

 donde , es la variación de la cantidad de movimiento de la partícula que llamamos "nosotros" (n).

, es la resultante de cuales fueran fuerzas exteriores aplicadas sobre nosotros.

, es la suma de las fuerzas ejercidas sobre nosotros por las otras partículas (j) del sistema.

Como este razonamiento se ha realizado para una partícula "n" cualquiera, pero es de carácter absolutamente general, entonces la variación de la cantidad de movimiento total para todas las partículas del sistema será la simple suma, es decir, abrimos un sumatorio en n para cada partícula:

Ahora bien:

Fnn = 0: una partícula no interacciona consigo misma.

Fjn = - Fnj, según la tercera ley de Newton. Luego: ,  y por tanto



Ahora resulta de utilidad el introducir el centro de masas del sistema, definido por un vector R tal que:

donde M es entonces la masa total, porque así nos queda:

 , es decir:

"El centro de masas se mueve como si las fuerzas exteriores estuvieran aplicadas a la masa total del sistema concentrada en su centro de masas".

El momento lineal total P del sistema será entonces:

 y la variación de P:  , luego si:

 es constante, y esto se llama:

Teorema de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas:

"Cuando la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el centro de masas sea nula, la cantidad de movimiento del centro de masas permanece constante".

De manera análoga, para encontrar el momento cinético o angular de un sistema de partículas, abrimos un sumatorio para todos los productos vectoriales de la definición de L, uno por cada j partícula (en total, n):



Cuando efectuamos los productos del primer miembro, aparecen unos sumandos de la forma (rk - rj) x Fkj, que serán todos nulos si las fuerzas interiores obedecen la formulación fuerte de la tercera ley de Newton (además de ser iguales y opuestas, están sobre la recta que une las dos partículas). En este caso se puede enunciar el Teorema de conservación del momento cinético o angular:

"Si el momento resultante aplicado de las fuerzas exteriores teriores Next es nulo, entonces el momento angular de un sistema de partículas L se conserva".

De gran importancia es conocer que éste es un teorema vectorial, es decir, Lz se conservará si Nzext  se conserva, aunque no lo hagan las otras componentes de L.

La energía cinética de un sistema de partículas, como el momento lineal, se compone de dos contribuciones: la energía cinética del centro de masas como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en ese punto, más la energía cinética de cada partícula respecto del centro de masas:



Para encontrar las contribuciones a la energía potencial sumamos la energía potencial de cada partícula por separado, es decir, la que se debe a su posición (n), más la energía potencial que respecto de cada n es producida por la presencia del resto de partículas (j):

 donde el factor 1/2 se ha puesto para evitar sumar dos veces cada pareja de subíndices.

Se hace notar que en un cuerpo rígido el segundo sumatorio (el doble sumatorio) es constante en el tiempo, ya que las partículas que componen el cuerpo permanecen fijas en sus posiciones respecto del centro de masas.