Mecánica de una partícula

El vector de posición r (acuérdese de que los vectores y las matrices se escriben en negrita), respecto de un punto origen O.

- El vector velocidad  .

- La cantidad de movimiento  .

- La 2ª ley de Newton:  

- El teorema de la conservación de la cantidad de movimiento o  momento lineal: .

Debemos recordar aquí que, en un caso general: dp = d(mv) = m dv + v dm.

A partir de este momento, y salvo que se especifique lo contrario, siempre ocurrirá que m = cte., y por tanto
dm = 0.

- El momento cinético o momento angular, L, respecto de un punto origen O: L = r x p.

- El momento de una fuerza, N, respecto del origen O: N = r x F, y por tanto se cumple que:  .

- El teorema de conservación del momento cinético o angular:    < == > L es constante.

El trabajo W efectuado por la fuerza F sobre una partícula cuando ésta va del punto "a" al punto "b":

 donde ds = vdt es el desplazamiento infinitesimal, y entonces:



Lógicamente, los cambios de variables harán que se tenga que acarrear el consiguiente cambio en los límites de integración, desde el espacio, pasando por el tiempo, para acabar en las velocidades.

La energía cinética de una partícula, T, es precisamente:

 de manera que el trabajo WT:  es la diferencia de energías cinéticas entre los puntos a y b.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea conservativo es que la fuerza F se derive de un potencial V:

 y llevando esto a la definición del trabajo:



Como en el caso anterior, el trabajo es la diferencia de energías potenciales entre los puntos a y b.

La consecuencia inmediata de esta situación es que si el punto inicial coincide con el punto final, pasando por cualesquiera puntos "b" que se deseen, el trabajo realizado siempre será 0, es decir, que el valor de la integral W es independiente del camino que une al punto a con el punto b:



Componiendo entonces las energías asociadas a la posición (V) y las energías asociadas al movimiento (T) se deduce que: Ea = Ta + Va y Eb = Tb+ Vb ,y la diferencia en las energías totales E:

 en otras palabras:

Ley de la conservación de la energía para una partícula:

"Si las fuerzas que actúan sobre un sistema son conservativas, la energía total de una partícula permanece constante".