Ligaduras

Cuando se descubre por vez primera el libro de Goldstein, este apartado resulta de lo más descorazonador. Parece que los físicos teóricos se han propuesto enmarañar al no iniciado dentro de un torbellino de términos que incluso pueden variar de significado cuando los enunciados de los problemas a los que se aplican son muy similares.

Pues bien, no es más que la manera de decir que la gran complejidad de sistemas físicos que son susceptibles de estudio se debe a que los movimientos de las partes que lo componen están restringidos de cualquier forma.

Naturalmente, los sistemas reales obedecen tales o cuales restricciones, y éste es el origen de su diversidad.

También naturalmente (¡y cómo no!), las herramientas que utiliza la mecánica analítica son las adecuadas para tratar idealizaciones de estos sistemas reales.
 
La primera idea que surge entonces es agrupar estas idealizaciones según alguna característica importante, y en el libro de Goldstein se proponen las coordenadas del sistema, es decir, las espaciales y el tiempo, como elementos diferenciadores entre las ligaduras (en este punto quizás el lector encuentre conveniente refrescar sus conocimientos de etimología, filología, etc...).

Así, el taxos principal lo encontramos en ligaduras holónomas y en ligaduras no holónomas:

Ligaduras holónomas: son todas aquellas que se pueden expresar como:

f(r1, r2, ....., rn, t) = 0. Nótese que en casos así, se puede leer esto como una ecuación implícita con el parámetro t, y se llaman entonces:

Ligaduras reónomas, si contiene a "t" como variable explícita.

Ligaduras esclerónomas, si no dependen explícitamente de "t".

Ligaduras no holónomas: Todas las demás.

Desgraciadamente, no hay un método para resolver todas las ligaduras no holónomas, siendo el de los multiplicadores de Lagrange uno de ellos (se verá más adelante). En cambio, con las ligaduras holónomas se puede seguir la siguiente línea:

Coordenadas generalizadas

Desde este punto, y salvo que se especifique otra cosa, vamos a tratar con ligaduras holónomas.

Un concepto afín al de ligadura es el de grado de libertad. Ya es sabido que un sistema de N partículas tiene un máximo de 3N grados de libertad.

Cada condición de ligadura restringe un grado de libertad, de forma que si hay un número "k" de ellas, podremos utilizarlas para encontrar 3N-k ecuaciones del movimiento independientes, y para poder manipularlas posteriormente de la mejor manera, se introducen 3N-k nuevas variables que se llamarán las "coordenadas generalizadas", q1, q2, ...,q3n-k , que estarán relacionadas con las antiguas coordenadas rn mediante las "formulas de transformación":



Note el lector que este sistema es la representación en paramétricas de un sistema de ecuaciones.

Lo más interesante de este proceso es que ahora las nuevas coordenadas no tienen porqué ser variables canónicas, sino que cualquier magnitud puede estar así representada, e incluso se pueden tomar como coordenadas las amplitudes de un desarrollo de Fourier.

Naturalmente, hay que asegurarse de que son consistentes con el problema físico que estemos abordando, de forma que siempre han de pasar por un análisis dimensional.