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Mecánica clásica (1/2)

Autor: Tirso Seneca
Curso:
8,80/10 (5 opiniones) |3638 alumnos|Fecha publicación: 16/03/2009
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Capítulo 14:

 Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)


Nota: Continuamos con las ecuaciones de movimiento de Hamilton

La obtención ahora de las ecuaciones de Hamilton es inmediata: Ecuaciones del movimiento de Hamilton:

Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)

Así que tenemos 2n + 1 ecuaciones, n por las coordenadas q, n por las coordenadas p, mas la del tiempo. Bien, ya hemos visto qué es y qué se puede hacer con la función hamiltoniana H. Veamos ahora cómo se obtiene.

Obtención de la hamiltoniana

Paso 1: Obtener la lagrangiana del sistema en las coordenadas que más nos convenga, es decir, cartesianas, cilíndricas, esféricas, o cualquier otra coordenada generalizada que definamos. Lo suyo es aplicar las fórmulas de transformación de coordenadas para cada caso, pero después de hacer las operaciones tres o cuatro veces, uno casi recuerda qué forma tienen las energías cinética y potencial en los distintos sistemas de coordenadas.

Paso 2: Obtener las cantidades de movimiento conjugadas pi a partir de la lagrangiana.

Paso 3: Obtener una hamiltoniana usando la función energía:

Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2). Esto es una función de Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2), p, q y t y por tanto no es todavía "la amiltoniana",pues falta aún por eliminar la dependencia de Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2) .

Paso 4: Usamos precisamente las relaciones del paso 2 para eliminar las velocidades generalizadas Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2) . Se pueden reconocer ya cuales son las energías potencial y cinética, con lo que se puede nominar con propiedad a la hamiltoniana así obtenida H(q,p,t).

Ilustremos esto con el segundo ejemplo del libro de Goldstein, una partícula cargada en un campo eléctrico, caso visto ya más arriba. Recordemos que la lagrangiana en coordenadas cartesianas para este sistema era:

Paso 1. Escribir la lagrangiana. Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)    

Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)

Paso 2. Obtener p.

Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)

Paso 3. Escribir la función energía h.

Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)

Paso 4. Sustituir p e identificar las contribuciones a la hamiltoniana:

Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)

Ahora ya se pueden usar esta hamiltoniana y las ecuaciones de Hamilton para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema. Si se quiere hallar la trayectoria en función del tiempo, simplemente se resuelven dichas ecuaciones.

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