Ecuaciones de movimiento de Hamilton

La formulación hamiltoniana de la mecánica no va un paso más allá de donde fue la formulación lagrangiana en lo que a resolución de problemas concretos se refiere, sino más bien a un enfoque más general de la mecánica. No se debe creer que la formulación lagrangiana es un paso intermedio entre la mecánica newtoniana y la de Hamilton, sino que ésta se formula a partir de otros principios y siguiendo otros métodos, y abre el camino hacia la formulación moderna de las mecánicas cuántica y estadística.

Transformaciones de Legendre y ecuaciones de movimiento de Hamilton

Quede claro que a partir de ahora siempre que se hable del estado de un sistema, nos encontramos en el espacio fásico, ese espacio abstracto 2N dimensional en el que las coordenadas generalizadas y sus derivadas respecto del tiempo ocupan ejes de coordenadas ortogonales entre sí. En la formulación lagrangiana para un sistema con n grados de libertad obteníamos n ecuaciones de Lagrange, que tenían la forma:

, es decir, n ecuaciones de segundo grado.

La formulación hamiltoniana, en cambio, intenta ser más simétrica y para ello pone en pie de igualdad a las coordenadas generalizadas qi y a cierta magnitud, de manera que las ecuaciones finales sean más generales, y además sean ecuaciones de primer grado. Resulta que cuando esta nueva magnitud es la cantidad de movimiento generalizada "p" las ecuaciones adquieren la simetría deseada. Recordemos entonces que p:

, de manera que ahora manejaremos un conjunto de 2n coordenadas generalizadas, n coordenadas q y n coordenadas p. A las cantidades (q,p) se les llama variables canónicas.

Con esto se va a construir una función (la hamiltoniana o el hamiltoniano H) para trabajar con ella, al estilo de como lo hacíamos con la lagrangiana L en la formulación de Lagrange. La primera diferencia entonces entre las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana es que para encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema:

* en la formulación lagrangiana se usa la función lagrangiana, que es una función de q, , y t, es decir, L( q,i, t).
* en la formulación hamiltoniana se usa la función hamiltoniana, que es una función de q, p y t, es decir, H(q,p,t).

El método para encontrar unas a partir de las otras se llama transformación de Legendre , que aplicado a la mecánica se constituye en el siguiente algoritmo:

Paso 1.- La función hamiltoniana H es función de q, p, y t, así que en cualquier caso tendremos:



Paso 2.- Por otra parte, de las ecuaciones de Lagrange tenemos que  , y que

, donde , la función energía se puede escribir como:

. El uso de la transformación de Legendre supone el formar una función (H por conveniencia) en las nuevas variables tal que tenga la forma:

. El paralelismo es evidente.... Entonces dH:



Paso 3.- De las ecuaciones de Lagrange se deduce que  y que , luego:

.

La ecuación se nos ha quedado en tres términos.... Comparando con la otra forma de dH: