Función de disipación

Hasta ahora no habíamos incluido en el análisis los sistemas que no son conservativos. Desde el bachillerato tenemos la idea de las fuerzas de rozamiento y el fenómeno de disipación en la atmósfera del calor producido en la fricción, o de la ley de Joule, que relaciona la cantidad de corriente que atraviesa un conductor y el calor que se desprende debido a la resistencia que opone el material.

En todos estos casos se "pierde" algo de la energía original, y además los sistemas conservativos tal y como los hemos visto no son más que aproximaciones a los eventos físicos reales. La solución inmediata (no tiene porqué ser la mejor) es añadir un nuevo término a las ecuaciones de Lagrange para "completarlas":



¿Qué clase de función tendría que ser?. Bueno, lo primero que vemos es que se trata de una ecuación diferencial,  así que será algo que nos diga cómo varía una función o variable cuando hacemos variar alguna otra función o variable, es decir, un término diferencial.

Acudamos ahora a la física real...¿de que tipo son los rozamientos y otras fuerzas disipativas?. Bien, una buena mayoría de ellas dependen de la velocidad, o de la energía cinética, de la forma: F = kv

Esto no es extraño ni aleatorio en absoluto cuando se tiene en cuenta que las fuerzas derivan (derivada) de un potencial (energía). Obsérvese también que k no es ninguna constante, simplemente será una magnitud cuyas dimensiones no dependan de las coordenadas ni de las velocidades. El quid de la cuestión era separar estas contribuciones en las fuerzas disipativas. Definamos entonces a conveniencia una nueva función de v que pudiera encajar en el hueco planeado. No olvidemos que estamos bajo la ecuación de Lagrange, y que ésta está formada por derivadas respecto de coordenadas y velocidades generalizadas. Por tanto, estamos buscando una derivada, respecto a alguna de ellas, de alguna función todavía desconocida.... Lord Rayleigh (Essex, 1842-1919) buscó hace tiempo en esto mismo y encontró una función que poseía las Características adecuadas, aunque como se podía sospechar, no se trataba de una energía: la función .

Función de disipación de Rayleigh para un sistema de n partículas:


de forma que derivando esto respecto de las velocidades generalizadas n obtenemos un término de la forma buscada: /n = F = kvn. Las dimensiones de son las de un flujo de energía o una potencia, es decir, kgm2s-3, y las de k son por tanto kgs-1.

Evidentemente, se han de utilizar las fórmulas de transformación de v en n  vistas más arriba. Cuando se hace esto, el desarrollo del cuadrado produce tres funciones homogéneas en n: T = T0 + T1 +T2, donde T0 es independiente en las velocidades generalizadas, T1 es lineal, y T2 es cuadrática. Esto será de utilidad más adelante.

Añadamos pues  /n en el sitio planeado de la ecuación y queda:

Ecuaciones de Lagrange cuando incluyen la función de disipación de Rayleigh:



Es decir, para resolver un problema que incluya fuerzas disipativas, además de la lagrangiana necesitarás conocer una función escalar más, o al menos que en el problema tengas datos suficientes para deducir L y .

Esto se podrá ver con más detalle más adelante.