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Mecánica clásica (1/2)

Autor: Tirso Seneca
Curso:
8,80/10 (5 opiniones) |3638 alumnos|Fecha publicación: 16/03/2009
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Capítulo 9:

 Ejemplo de ecuaciones de Lagrange


Nota: Continuamos con los principios variacionales y ecuaciones de Lagrange: Seguimos con los ejemplos.

Utilizamos ahora la condición de extremo:

Ejemplo de ecuaciones de Lagrange, o lo que es lo mismo:

Ejemplo de ecuaciones de Lagrange
Resolviendo para Ejemplo de ecuaciones de Lagrange.

Ejemplo de ecuaciones de Lagrangey finalmente:

Ejemplo de ecuaciones de Lagrange que es la ecuación de la catenaria. Como antes, los valores de las constantes de integración a y b dependen de los puntos "p" y "q" de la curva.

El problema de la braquistócrona:

Se trata de hallar la curva entre dos puntos cualquiera que describe una partícula desde el reposo, que cae por efecto de la gravedad, y que emplea un tiempo mínimo para recorrerla.

La longitud total de la curva entre los dos puntos es, como antes Ejemplo de ecuaciones de Lagrange. Ahora el truquillo para recordar es que ds = vdt, y que la condición de mínimos nos la han pedido sobre el tiempo t, por tanto vamos a calcular:

Ejemplo de ecuaciones de Lagrange. La relación para v la obtenemos fácilmente de la ley de la conservación de la energía: cuando llega al punto más bajo, toda su energía potencial se ha convertido en energía cinética, esto es:

Ejemplo de ecuaciones de Lagrange y la integral queda:

Ejemplo de ecuaciones de Lagrange. Luego la famosa función f (fff):

Ejemplo de ecuaciones de Lagrange

Continuando el método se habrá resuelto de paso el ejercicio 2.3 del libro de Goldstein, así pues queda en manos del lector acabar el ejemplo.

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