Nota: Continuamos con los principios variacionales y ecuaciones de Lagrange: Seguimos con los ejemplos.

Utilizamos ahora la condición de extremo:

, o lo que es lo mismo:


Resolviendo para .

y finalmente:

 que es la ecuación de la catenaria. Como antes, los valores de las constantes de integración a y b dependen de los puntos "p" y "q" de la curva.

El problema de la braquistócrona:

Se trata de hallar la curva entre dos puntos cualquiera que describe una partícula desde el reposo, que cae por efecto de la gravedad, y que emplea un tiempo mínimo para recorrerla.

La longitud total de la curva entre los dos puntos es, como antes . Ahora el truquillo para recordar es que ds = vdt, y que la condición de mínimos nos la han pedido sobre el tiempo t, por tanto vamos a calcular:

. La relación para v la obtenemos fácilmente de la ley de la conservación de la energía: cuando llega al punto más bajo, toda su energía potencial se ha convertido en energía cinética, esto es:

 y la integral queda:

. Luego la famosa función f (fff):



Continuando el método se habrá resuelto de paso el ejercicio 2.3 del libro de Goldstein, así pues queda en manos del lector acabar el ejemplo.