Nota: Continuamos con los principios variacionales y ecuaciones de Lagrange: Ejemplos

Distancia más corta entre dos puntos del plano
En un plano, el elemento de longitud que corresponde a cualquier arco es , y la longitud de cualquier curva entre los puntos p y q es:



Tomemos f = ds =  entonces:
 


Aplicando ahora la condición de extremo:

Resolviendo esto para  : y por tanto y = ax + b, que es la ecuación de una recta, evidentemente, la distancia más corta entre dos puntos en el plano.

Superficie de revolución mínima:

Sea una curva en el plano XY. Se hace girar la curva en torno al eje Y para formar un sólido de revolución, como se ve en la figura 1. Lo que se busca es la curva del plano XY, es decir, una y = f(x), entre los puntos "p" y "q" que hace que la superficie de revolución generada sea la menor posible. El área dA que ocupa un anillo cuyo eje coincide con el eje Y (luego su radio es x), y que tiene una anchura ds es , y ntonces, el área total de la superficie generada entre los puntos p y q de la curva cuando han girado una vuelta completa alrededor del eje Y es:




Así que nuestra función f es en este caso:

Apliquemos el método: