Deducción de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio integral de Hamilton.

Como ya se sugirió un poco más arriba, las ecuaciones de Euler-Lagrange surgen del principio integral de Hamilton. Seguramente ya se le habrá ocurrido la siguiente transformación:

 ¿cual es la generalización para n dimensiones?... pues claramente:

 x -> t, porque de esta manera, nuestra función f:

 nuevamente a las:

Ecuaciones de Lagrange (una vez más):



Extensión del principio de Hamilton a sistemas no holónomos

Ha llegado el momento de incluir en la condición de mínimo las consecuencias de las ligaduras que no se pueden expresar en función de t. La fórmula final es más sencilla de lo que en realidad parece indicar el libro de Goldstein. No obstante, algunas de las condiciones necesarias para poder utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange se ven mejor si se tienen en cuenta las propiedades de aquella función

, encontrada en la sección 2.2, en la que se resumen las condiciones que debía cumplir el camino pequeñamente variado respecto del camino correcto. Evidentemente, no podremos tomar ningún camino variado que viole las restricciones impuestas por las ligaduras, así que las ecuaciones de Lagrange deben reflejar este hecho. Como en el caso de sistemas no conservativos, la solución inmediata (tampoco tiene porqué ser la mejor) es añadir un nuevo término que "complete" las ecuaciones:

[añadir algo aquí] 0.

Tengamos en cuenta, en primer lugar, que pueden existir más de una ecuación de ligadura, por lo que este nuevo término incluirá un sumatorio cuyo índice las enumere. En segundo lugar, la forma de la ecuación , nos indica que vamos a encontrar otra vez términos diferenciales. Recordaremos también que se usa la letra griega " "para designar estos multiplicadores, así que el nuevo término tendrá la forma:

, donde fk son las ecuaciones de las k ligaduras.

Esto es, para cada ecuación de las ligaduras existirá un término diferencial respecto de cada coordenada generalizada independiente.

Es ahora cuando viene el punto realmente importante. Cuando en un momento dado sustituyéramos las ligaduras por un conjunto de fuerzas exteriores Qnx tales que las ecuaciones del movimiento fueran las mismas, las ecuaciones de Lagrange quedan:



La similitud con la forma que buscamos es evidente. Además, una de las primeras expresiones con la que nos encontramos en la mecánica es la de la fuerza Normal (la fuerza que ejerce, por ejemplo, una mesa sobre un objeto depositado encima de ella, de manera que le impide caer al suelo), que no es más que una ligadura. Por esto, la forma habitual de escribir esta ecuación es:



Atención al cambio de signo originado al mantener positivo el término nuevo.

Este método resulta también adecuado cuando se quieren hallar las fuerzas de ligadura de un sistema usando la formulación lagrangiana, representadas en estos casos por los multiplicadores  k. Ya se debería saber que precisamente la formulación lagrangiana, al englobar a las ligaduras en la transformación de coordenadas, es incapaz de resolverlas. De todas formas, el propio Goldstein os aconseja no perder el tiempo usando este método para ello. Aún así, los ejercicios son buenos ejemplos del uso de los multiplicadores de Lagrange para la resolución de problemas. El esquema general seguido es el siguiente:

1. Identificar y escribir la lagrangiana en las nuevas coordenadas que elijáis, según convenga más al problema. Haced dibujos aclaratorios del origen de coordenadas y del punto cero de la energía potencial, para evitar sustos posteriores con los signos.

2. Escribir la o las ecuaciones de ligadura. Encontrarlas suele ser más cuestión de oficio o inspiración que de unas reglas concretas. Nuevamente, el dibujo o esquema que hagáis resultará de gran utilidad.

3. Escribir las ecuaciones de Lagrange con el término de los multiplicadores. Resolverlas para cada coordenada.

4. Junto a las ecuaciones de la o las ligaduras, formar un sistema de ecuaciones, que contendrá un número de ecuaciones independientes como coordenadas más multiplicadores haya.

5. Resolver este sistema para lo que pida el problema: En muchos casos, se buscan los **simbolo lambdak que representan a las ligaduras. En otros, es el ángulo u otra coordenada la que interesa encontrar en función de las demás, etc.