Principio de D'Alembert y ecuaciones de Lagrange

Principio de D'Alembert:

, donde: , es otra forma de escribir la ecuación del movimiento para cada partícula "n". Visto así, el principio de D'Alembert no expresa otra cosa sino una condición de equilibrio.

 es un incremento infinitesimal real del desplazamiento. Nótese que estamos bajo un símbolo de sumatorio y no bajo una integral.

Para llegar a las ecuaciones de Lagrange a partir de este principio es necesario primero transformar las coordenadas a unas nuevas coordenadas generalizadas. Estas coordenadas serán qn y i. Por conveniencia, designarán posiciones y derivadas respecto del tiempo de las posiciones, aunque generalmente puedan representar diversas magnitudes. Esto se consigue utilizando la regla de la cadena para derivadas parciales. A modo de recordatorio, vaya aquí un ejemplo:



Recordamos que el índice "n" se está reservando para partículas, y que el índice "i", por tanto, pertenecerá a cada coordenada generalizada.

Sustituyendo esto y F = - V (léase lo posterior) en el principio de D'Alembert se llega a "n" ecuaciones para la energía cinética T.

Tengamos en cuenta que estamos trabajando con fuerzas que derivan de un potencial, y por tanto, F = -V. Cuando sustituimos esto encontramos que en esas "n" ecuaciones que cumple la energía potencial, todo lo que ocurre se produce en el segundo miembro de las ecuaciones que obtuvimos arriba (para ver esto, simplemente, llévese hasta este segundo miembro todas las expresiones que pueda de lo que haya surgido en las operaciones con el gradiente, y parezca estar relacionado con la energía potencial V.

Si no es capaz a la primera, haga el camino a la inversa: parta de las ecuaciones de Lagrange y termine en el principio de D´Alembert). Por tanto, el primer miembro tiene la misma forma funcional que las ecuaciones para la energía cinética (que corresponderá a todo lo que en esas ecuaciones no haya surgido de la potencial). Parece adecuado entonces definir una nueva magnitud que relacione a T y V, llamada la lagrangiana L:

L = T - V

Las ecuaciones así obtenidas se llaman Ecuaciones de Lagrange:



¿Que para qué vale todo esto? ... Las ecuaciones de Lagrange son una herramienta fácil de recordar para encontrar las ecuaciones de movimiento de un sistema. De momento, ya no es necesario el uso de los vectores, puesto que sólo utilizamos magnitudes escalares. El ahorro en tiempo, en papel y en tinta resulta evidente.

Tampoco aparecen por ningún lado las ecuaciones de las ligaduras, ya que quedan englobadas en la transformación de las coordenadas, proceso más general y por tanto más potente. Se debe resaltar además el hecho de que la formulación resulte invariante respecto a la elección de distintos sistemas de coordenadas.

Una aclaración antes de cerrar el epígrafe: por la naturaleza diferencial de estas ecuaciones, resulta lógico encontrar unas ecuaciones del movimiento determinadas a partir de varias lagrangianas distintas.