Nota: Continuamos con las coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados. Ejemplo 2

Ejemplo 2.-

Veamos ahora cómo se van incorporando magnitudes al hamiltoniano de un sistema cualquiera, por ejemplo, este:

Varillas y bastidor sin masa:

Unas varillas L que sujetan un bastidor BD en el que se desplaza una masa m unida al bastidor mediante un muelle de constante k, y todo ello, colgado de un techo. Para ir introduciendo suavemente nuevos términos, comencemos sin masa en las varillas ni el bastidor, y dejemos también para un poco más adelante el término con las fuerzas disipativas que surge del rozamiento de m con el bastidor:



Supongamos que el movimiento se efectúa en un plano.

Las coordenadas generalizadas serán el ángulo que forma el péndulo con la vertical, con el cero de potencial en el plano XY (el techo), y la coordenada "x", con su cero correspondiente en el extremo del muelle en equilibrio (su longitud natural). Para encontrar el hamiltoniano, realizamos los pasos siguientes:

Paso 1.- Escribir la lagrangiana :





Paso 2.- Procedamos ahora a utilizar las ecuaciones de Hamilton para encontrar los momentos p asociados:


Resolviendo este sistema de dos ecuaciones mediante el método de Cramer para y :



Paso 3-. Ahora la función energía h=h(,x,,) es:



Paso 4.- Sustituyendo ahora y , obtenemos finalmente el hamiltoniano:



Tras agrupar términos, la hamiltoniana presenta este aspecto más manejable: