Nota: Continuamos con las coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados. Ejemplo 1

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del formalismo hamiltoniano para algunos sistemas mecánicos simples:

Ejemplo 1.- Sean los tres sistemas mecánicos de las correspondientes figuras. En todos ellos el campo g es paralelo al eje Z, como habitualmente se describe, y paralelamente al eje X, y en su sentido positivo, se dispone un campo E. Ambas masas son también cargas, siendo idénticas para estos dos campos.

- ¿Cuántas ligaduras y cuántos grados de libertad tiene cada uno de ellos?
- ¿Cuántas ecuaciones de Hamilton son necesarias en cada caso?

Sistema 1



Se trata de dos partículas libres, moviéndose en tres dimensiones. Así que hay seis grados de libertad sin restricción alguna. Como coordenadas generalizadas sirven bien las cartesianas, y por tanto el hamiltoniano será de la forma: H = H(xn, yn, zn; pxn, pyn, pzn; t) (n = 1,2), lo que significa que hay doce ecuaciones de Hamilton.

Sistema 2

Primeramente, consideremos que el movimiento no tiene porqué efectuarse en un plano. Usando coordenadas esféricas se puede definir completamente la posición de la masa 1mediante los dos ángulos 1 y 1, ya que la restricción del sistema obliga a la coordenada r a permanecer constante.

Como la masa 1 se mueve en tres dimensiones, pero bastan dos coordenadas para definir su posición, se deduce que el subsistema de la masa 1 tiene dos grados de libertad, y por tanto una ligadura. El mismo razonamiento aplicado a la masa 2 lleva a las mismas conclusiones. En este caso además hay que decir que las coordenadas para la masa 2 tienen su origen en unos ejes paralelos a los de la masa 1, y que se mueven solidarios con ésta.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones, pero bastan cuatro coordenadas generalizadas, se deduce que el sistema tiene cuatro grados de libertad, y por tanto dos ligaduras. El hamiltoniano tendrá la forma H = H(n, n; pn,pn; t), lo que significa que hay ocho ecuaciones de Hamilton.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones, pero bastan cuatro coordenadas generalizadas, se deduce que el sistema tiene cuatro grados de libertad, y por tanto dos ligaduras. El hamiltoniano tendrá la forma H = H(1, 2; p1,p2; t), lo que significa que hay ocho ecuaciones de Hamilton.



Para este último caso volvemos a la situación inicial. Se han eliminado las restricciones que estaban impuestas sobre las coordenadas r, que ahora pueden tomar cualquier valor que permita la elongación de los muelles. A fin de cuentas, si los muelles no tienen masa, las fuerzas que aquellos aplican sobre éstas resultan indistinguibles de las del tipo de acción a distancia, como las gravitatorias o electromagnéticas. Si ahora se puede dar valores a la coordenada r, es que la ligadura que había en el caso anterior también ha desaparecido, tenemos otra vez seis grados de libertad y por tanto el hamiltoniano será de la forma:

H = H(rn,n, n; prn, pn, pn t), Lo que significa que habrá doce ecuaciones de Hamilton.