Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados

Según la definición, una coordenada "q" cíclica es aquella que no aparece explícitamente en la lagrangiana. Ahora bien, como hemos definido:



Entonces si una coordenada "q" no está en L, tampoco estará en H.

El resultado de esto es que todas las leyes de conservación que hemos obtenido antes, se cumplen sin más que sustituir H por L, esto es:



Teorema de conservación del momento lineal

Coordenadas cíclicas

Esta es otra de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no se ve. Cuando en una hamiltoniana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca  , diremos que tal coordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es que si en H no aparece qn:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se conserva".

Otra consecuencia: como L = T-V, T = f( ), y V = f(qn), Entonces , pero si esta q es cíclica:

, es decir:

"La componente de las fuerzas aplicadas correspondiente a una coordenada cíclica es 0".

Teorema de la conservación de la energía

La variación total de la hamiltoniana en el tiempo:
 


Si ahora utilizamos en esta expresión las ecuaciones de Hamilton:

, nos queda:

 y por la integral de Jacobi: , así que si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, tampoco lo hará la hamiltoniana, y en ese caso se dice que la hamiltoniana es una constante del movimiento:

, se conserva.

Recordemos ahora que cuando las coordenadas no dependen del tiempo, y el potencial no depende de las velocidades: H = T + V.

Como apunte final, hacer notar que mientras que para la lagrangiana existe una fórmula definida L = T - V, y su magnitud es independiente del sistema de coordenadas utilizado, para la hamiltoniana esto no ocurre, y es posible que una hamiltoniana que se conserva en un determinado sistema de referencia no lo haga en otro sistema de coordenadas, por ejemplo en sistemas de referencia acelerados.