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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 1:

 Trigonometría

Generalidades

Es la ciencia que estudia todos los elementos de un triángulo.

Dado un ángulo cualquiera trogonometria:

-         OA lado origen (eje positivo de abscisas – valor cero de ángulos).

-         OB lado extremo.

-         Todo ángulo tendrá dos valores, uno positivo (sentido contrario agujas reloj) y uno negativo (sentido agujas reloj).

-         Unidades de medida de ángulos:

-         Grado sexagesimal (la circunferencia tiene 360º).

-         Grado centesimal (la circunferencia tiene 400º).

-         Radián (la circunferencia tiene 2π

trigonometria

Definiciones y signos de las razones trigonométricas

Sea una circunferencia de radio r y centro O y en ella un arco cualquiera AM, cuyo origen A coincide con el semieje positivo de abscisas y cuyo extremo M tiene por coordenadas x, y. si llamamos α a su ángulo central correspondiente, las razones trigonométricas de dicho ángulo α o de dicho arco AM (tres fundamentales y tres inversas) vienen definidas así:

-         Seno:relación entre ordenada y radio; trigonometria

-         Coseno:relación entre abscisa y radio; trigonometria

-         Tangente:relación entre ordenada y abscisa; trigonometria

-         Cotangente:relación entre abscisa y ordenada; trigonometria

-         Secante:relación entre radio y abscisa; trigonometria

-         Cosecante:relación entre radio y ordenada; trigonometria

trigonometria

En trigonometría, suele utilizarse la llamada circunferencia gonio métrica, que tiene un radio unidad, y los signos que tienen las distintas razones en los distintos cuadrantes puede observarse en la figura siguiente:

trigonomemtria

Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo

trigonometria

1ª)  trigonometria (es la que se conoce como relación fundamental de la trigonometría).

2ª)  trigonometria

3ª)  trigonometria

4ª)  trigonometria

5ª)  trigonometria

6ª)  trigonometria

7ª)  trigonometria

Reducción de las razones al primer cuadrante

1.Razones de ángulos suplementarios

trigonometria

trigonometria

trigonometria

trigonometria

2.Razones de ángulos que difieren en 180o

trigonometria

trigonometria

trigonometria

trigonometria

3.Razones de ángulos complementarios

trigo

trigo

trigo

trigo

4.Razones de ángulos que difieren en 90o

trigo

trigo

trigo

trigo

5.Razones de ángulos que suman 360o(opuestos)

trigo

trigo

trigo

trigo

Tablas trigonométricas

Como hemos visto, las razones trigonométricas de cualquier ángulo pueden reducirse a las de un ángulo agudo positivo. De esta manera, las tablas trigonométricas sólo necesitan darnos los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 0o a 90º.

Para buscar los valores de las razones trigonométricas, si el ángulo está a la izquierda (de 0o a 45º), las razones son las correspondientes a la indicación de arriba, y si el ángulo está a la derecha (de 45o a 90º), los valores son los correspondientes a la indicación de abajo.

trigonometria

Relaciones trigonométricas más importantes

1.Seno, coseno y tangente de la suma de dos ángulos.

d

d

d

2.Seno, coseno y tangente de la diferencia de dos ángulos.

d

d

d

3.Razones del ángulo doble.

d

d

d

4.Razones del ángulo mitad.

d

d

d

5.Transformación en producto de la suma y diferencia de senos, cosenos y tangentes.

d

d

d

d

d

d

Ecuaciones y sistemas trigonométricos

En ellas, la incógnita está bajo la forma de una función trigonométrica.

Para su resolución no existe un método general; sin embargo, vamos a exponer unas cuantas indicaciones que son las que suelen seguirse en la mayoría de los casos y el orden en que deben hacerse:

1ª.-Si las funciones que intervienen no son de ángulos sencillos, es decir, son de suma o diferencia de dos ángulos, de ángulo doble, ángulo mitad, etc., se reducen a las de ángulos sencillos utilizando las relaciones expuestas en el apartado anterior.

2ª.-Si intervienen varias funciones, se reducen a la misma, con lo cual nos quedamos con una sola incógnita y podemos resolver la ecuación correspondiente.

3ª.-Una vez hallados los valores correspondientes a la función hemos de buscar los correspondientes a los ángulos, teniendo en cuenta que en la mayoría de los casos para un mismo valor de una función pueden existir varias soluciones. Al expresar las soluciones de la ecuación, siempre lo haremos en la forma:d, ya que todos los ángulos que se diferencian en un número entero de circunferencias tienen iguales todas sus razones trigonométricas.

Ejemplo:

d

d

d

d

d

d

d

En resumen, las soluciones de la ecuación son:

d

Resolución de triángulos rectángulos

Por resolver un triángulo se entiende encontrar todos sus elementos (lados y ángulos) a partir del conocimiento de alguno de ellos.

En el triángulo rectángulo:

-         Un ángulo es de 90o

-         La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180o

-         En este caso se puede aplicar el teorema de Pitágoras

De las definiciones de las razones trigonométricas se deducen las siguientes conclusiones:

1ª.-Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto a dicho cateto o por el coseno del ángulo adyacente a dicho cateto.

2ª.-Un cateto es igual al producto del otro cateto por la tangente del ángulo opuesto al primero o por la cotangente del ángulo adyacente al primero.

d

Con estas reglas es suficiente para resolver cualquier caso de triángulos rectángulos conocido sólo dos de los elementos.

Resolución de triángulos oblicuángulos

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto (90º) ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

Para su estudio necesitamos conocer una serie de relaciones en los triángulos:

a.-Teorema del seno: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

d

b.-Teorema del coseno: El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo comprendido.

d

d

d

c.-Teorema de la tangente: En todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos es a la tangente de la semidiferencia de los mismos.

d

d.-Fórmulas de Brigss. Son las siguientes:

d

d

d

siendo p el semiperímetro del triángulo.

Los casos de resolución de triángulos oblicuángulos que pueden presentarse son los siguientes:

1er.- Dado un lado y dos ángulos: Puesto que el tercer ángulo lo calculamos restando la suma de los dos conocidos de 180º, este caso se resuelve empleando el teorema del seno.

2º.- Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: Calcularemos primero el ángulo opuesto al otro lado conocido, mediante el teorema del seno, y ya el ángulo y el lado que faltan se pueden calcular por cualquier método (lo más fácil es volver a utilizar el teorema del seno).

3er.- Dados dos lados y el ángulo comprendido: En este caso hay que empezar por buscar el tercer lado, para lo cual podemos utilizar el teorema del coseno. A continuación aplicamos dos veces el teorema del seno para buscar los otros ángulos.

Este caso se puede resolver también por el teorema de la tangente, pero el procedimiento es más complicado.

4º.- Conocidos los tres lados: En este caso se puede buscar uno cualquiera de los ángulos utilizando el teorema del coseno o bien las fórmulas de Brigss y a continuación puede emplearse el teorema del seno.

Fórmulas del área de un triángulo

Según los datos de que dispongamos, y teniendo en cuenta la fórmula general para el área de un triángulo, que es:

d

existen muchas otras formas para expresar dicha área que vamos a exponer aquí.

a.- Dados un lado, b, y la altura sobre dicho lado:

d

b.- Dados un lado, b, y dos ángulos A y C:

d

c.- Dados los lados y el radio de la circunferencia circunscrita:

d

d.- Dados el perímetro y el radio de la circunferencia inscrita:

d

e.- Dados los tres lados:

d

Esta última es la llamada fórmula de Heron.d

Capítulo siguiente - Número complejo

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