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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 8:

 Sistemas de coordenadas en el plano y representaciones gráficas

Proyección ortogonal sobre un eje

Se entiende por proyección ortogonal de un punto (M) sobre una recta (AA´) al pie de la perpendicular (M´)bajada desde el punto a la recta.

d

La proyección de un segmento rectilíneo (PQ) sobre una recta (AA´) se hace proyectando los dos extremos del segmento sobre dicha recta (P´Q´).

sd

En la figura podemos apreciar que:

sf

Luego, la proyección de un segmento sobre un eje es igual al producto de la longitud del segmento por el coseno del ángulo formado por las direcciones positivas del segmento y del eje sobre el que se proyecta.

Si lo que se quiere proyectar es un contorno poligonal, la suma de las proyecciones de sus lados es igual a la proyección del segmento que tiene por origen y extremo el origen y extremo del contorno. De aquí se deduce que la proyección de una línea poligonal cerrada sea nula.

Coordenadas cartesianas de un punto en un plano

Un punto queda representado en el plano por un par de números que se llaman “coordenadas del punto”; los distintos métodos de representación que se emplean reciben el nombre de “sistemas de coordenadas”, siendo los más importantes el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares y el de coordenadas polares.

En el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares se toman en el plano dos rectas XX´ e YY´, perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas, que se cortan en un punto O llamado origen.

Se llama abscisa de un punto cualquiera P, y se representa por x, a la distancia desde P al eje YY´, tomada con signo positivo si queda situada a la derecha de dicho eje YY´ y con signo negativo si queda situada a la izquierda de dicho eje.

Se llama ordenada de un punto P, representada por y, a la distancia desde P al eje XX´, tomada con signo positivo si queda por encima de dicho eje XX´ y con signo negativo si queda por debajo.

Al par de valores (x, y) se les llama “coordenadas cartesianas del punto P”.

sdf

Representación de funciones de una variable

Si es dsf una función de una variable, a cada valor de x le corresponderá un valor para y; pues bien, tomando cada uno de estos pares de valores xy como coordenadas cartesianas de un punto, para cada valor de la variable independiente tendremos un punto del plano, y el conjunto de todos los puntos así obtenidos será la representación gráfica de dicha función. Según el tipo de función que representemos obtendremos una recta o una curva con características distintas.

sdf

sdf

La Tabla de valores se realiza dando valores arbitrarios, positivos y negativos, a la variable independiente y obteniendo de esta forma los correspondientes a la función:

sdf

A continuación, representamos todos los pares de valores y unimos todos los puntos, obteniendo así las líneas cuyas ecuaciones son las funciones dadas. En la misma apreciamos que la primera de ellas es una recta y la segunda una parábola, ya que, en efecto, la ecuación de una recta es una función lineal y la de una parábola es una ecuación de segundo grado.

sdf

Cambio de ejes de coordenadas

En la resolución de algunos problemas geométricos es muchas veces conveniente el cambiar la posición de los ejes de coordenadas con respecto a la figura sobre la que se opera. En este caso es preciso solucionar el siguiente problema: dadas las coordenadas de un punto P en el sistema de coordenadas primitivo, encontrar las coordenadas del mismo punto en el nuevo sistema. Los casos que se suelen presentar son los siguientes:

A)Traslación de ejes. En este caso, los nuevos ejes son paralelos a los primitivos y dirigidos en el mismo sentido. Llamaremos xo e yo a las coordenadas del nuevo origen de coordenadas O´ respecto de los ejes primitivos, x e y; las coordenadas de P respecto a dichos ejes primitivos y e a las coordenadas del mismo punto P respecto a los nuevos ejes.

f

La simple observación de la figura nos hace deducir las siguientes relaciones:

df

B)Rotación de ejes. En este caso, el origen no varía de posición y los nuevos ejes ocupan la misma posición que ocuparían los primeros si se les hiciese girar un ángulo = 6.

sdf

De la figura anterior podemos deducir las siguientes relaciones:

sdf

sdf

sdf

Por tanto:

sdf

Además:

sdf

sdf

sdf

Tenemos, pues:

sdf

que son las relaciones existentes entre las coordenadas respecto a los ejes primitivos y respecto a los nuevos.

C)Caso general. Utilizando los dos procedimientos anteriores ya puede efectuarse cualquier cambio de ejes, ya que siempre podremos pasar de unos ejes a otros cualesquiera mediante una traslación y luego un giro, de forma que mediante la traslación hagamos coincidir los dos orígenes, y una vez conseguido esto podemos hacer el giro que sea necesario.

Coordenadas polares

Dados en un plano un punto O llamado origen o polo, y una recta OX llamada eje polar, se puede representar un punto cualquiera del plano por su distancia al origen, que representaremos por r, y por la medida del ángulo que forma la recta OP con el eje polar, que representaremos por α. Los valores r y α reciben el nombre de “coordenadas polares” del punto P.

sdf

Dadas las coordenadas polares de un punto P, para calcular las coordenadas cartesianas del mismo en un sistema de ejes formados por el eje polar y una perpendicular OY a dicho eje trazada por el polo, tendremos en cuenta las siguientes relaciones que podemos observar en la figura:

dsf

 

o bien:

sdf

Capítulo siguiente - El plano vectorial

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