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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 4:

 Potencia de un binomio

Potencia n-sima de un binomio (Binomio de Newton)

Se trata de buscar una regla general para elevar un binomio a cualquier exponente.

Tenemos, por tanto:

potencia

potencia

potencia

Si queremos buscar la cuarta potencia:

potencia

Para ver si todos estos desarrollos siguen alguna regla general, vamos a poner sus coeficientes como números combinatorios.

potencia

potencia

potencia

potencia

Como vemos, van siguiendo la siguiente regla general:

potencia

De donde se desprenden las siguientes conclusiones:

1.-El desarrollo es un polinomio ordenado, homogéneo y completo en a y b, de grado igual al exponente del polinomio.

2.-Los coeficientes de los términos del desarrollo o “coeficientes binómicos” son números combinatorios, cuyo numerador es igual al exponente n y cuyos órdenes crecen desde 0 hasta n.

3.-El número de términos del desarrollo es igual a n + 1.

4.-La parte literal (lo que no es coeficiente) de los términos del desarrollo está formada por el primero de los monomios elevado a un exponente que es la diferencia entre el numerador y el orden del número combinatorio que lleva por coeficiente, y por el segundo monomio elevado a un exponente igual al orden de dicho número combinatorio.

Por tanto, si queremos hallar un término general que ocupe el lugar m + 1 del desarrollo sin necesidad de hacerlo todo él, podemos aplicar la siguiente fórmula:

d

Ejemplo: En el desarrollo de d, escribir el término que ocupa el lugar 13 del mismo.

d

Relaciones entre los coeficientes binómicos

Son las siguientes:

1.-Los coeficientes de dos términos equidistantes de los extremos son iguales.

Esto se debe a que dichos coeficientes son números combinatorios de igual numerador y órdenes complementarios y por tanto son iguales.

De acuerdo con esto, basta calcular la mitad de los coeficientes.

2.-Cada coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término y dividiéndole por el exponente de b en el término que se calcula.

d

Triángulo de Tartaglia

Al estudiar los números combinatorios vimos una propiedad de éstos que decía: la suma de dos números combinatorios de igual numerador y órdenes consecutivos es igual a otro número combinatorio de numerador una unidad más y el orden del mayor.

d

Esto nos permite el cálculo rápido de los números combinatorios de base m conocidos los de base m -1 y, por tanto, los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio con exponente m, conocido el de desarrollo de la misma potencia con exponente m -1.

d

En este triángulo aritmético o de Tartaglia están representados los coeficientes de los desarrollos de las potencias de un binomio con exponentes sucesivos 1, 2, 3, 4, 5…, y como vemos, una vez escritas las oblicuas 1, 1, 1,… y según la propiedad antes enunciada, cada elemento es la suma de los dos que lleva encima. En él apreciamos también la igualdad de los coeficientes equidistantes de los extremos.

Problema de aplicación. El tercero y el cuarto término del desarrollo de d son iguales a 90 y 270. Halla x e y.

d

d

Dividiendo miembro a miembro:

d

valor que sustituido en una de las ecuaciones y resuelta ésta da como soluciones:

d

d

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