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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 9:

 El plano vectorial

Estudio de la recta vectorial

Una recta se puede considerar recorrida en dos sentidos que se dicen inversos entre sí, diciéndose que dicha recta está orientada si se fija uno de esos sentidos como positivo, quedando el otro como negativo.

A un segmento cualquiera dotado de un sentido determinado se le llama vector, y para determinarlo basta dar los extremos de dicho segmento en un determinado orden; al primer extremo se le llama origen del vector, y al segundo, extremo. El vector cuyo origen es el punto A, y cuyo extremo es el punto B, suele representarse de la forma: vector.

Si en una recta consideramos un origen O y una unidad u, cada punto queda representado por un número real que se denomina abscisa de dicho punto.

Se llama módulo de un vector a la longitud del segmento correspondiente a dicho vector; el módulo de un vector vector se representa por vector y es igual:

vector

siendo a y b las abscisas del origen y del extremo de dicho vector (los barrotes indican valores absolutos).

La medida vector, considerada con su signo correspondiente, es decir, no es valor absoluto, se le llama medida algebraica del vector.

Dos vectores que tienen la misma medida algebraica, es decir, que tienen el mismo módulo y el mismo sentido, se dice que son equipolentes, siendo la relación de equipolencia de los vectores una relación de equivalencia por poseer las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Como siempre que se establece una relación de equivalencia, podemos hacer una partición en el conjunto de todos los vectores de la recta, siendo cada una de las clases correspondientes el llamado vector libre de la recta.

Para que un vector libre sea igual a otro, es condición necesaria y suficiente que un vector de uno sea equivalente a un vector de otro.

Un vector libre tiene el módulo, el sentido y la medida algebraica de uno cualquiera de sus representantes. A la medida algebraica de un vector libre vector se la suele representar de cualquiera de las dos formas siguientes:

vector

La suma de dos vectores libres de la recta es el vector libre de ella cuya medida algebraica es la suma de las medidas algebraicas de los dos sumandos. Esta suma goza de las propiedades siguientes:

1.- Es operación interna.

2.- Tiene la propiedad conmutativa.

3.- Tiene la propiedad asociativa.

4.- Posee elemento neutro (el llamado vector nulo cuya medida algebraica es cero).

5.- Todos los elementos tienen su simétrico (el vector opuesto de uno dado, es decir, el vector que tiene el mismo módulo y sentido contrario).

Por tanto, el conjunto de los vectores libres de la recta tiene estructura de grupo aditivo conmutativo.

El producto de un vector libre por un número real es el vector libre cuya medida algebraica es el número real multiplicado por la medida algebraica del vector libre dado. Esto se puede expresar de la forma:

vector

De esta forma, si consideramos a la medida algebraica devector como unidad vector (siendo u la unidad de los números reales), todo vector libre dado puede considerarse como el producto de un número real por un vectorvector unidad:

vector

Estudio del plano vectorial

Un vector en el plano es un vector de una cualquiera de las rectas del plano. Para representar los vectores del plano se emplea la misma notación que para representar los vectores de una recta. En los vectores del plano, además del módulo, interesan los conceptos de dirección y sentido.

Dados los vectores en el plano, si las rectas que los contienen coinciden o son paralelas, dichos vectores tienen la misma dirección. Si dos vectores tienen la misma dirección, se dice que tienen el mismo sentido si miran hacia el mismo lado.

Si dos vectores del plano poseen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, se dice que dichos vectores son equipolentes, siendo, de la misma forma que los vectores de la recta, dicha relación de equipolencia una relación de equivalencia, y quedando, por tanto, el conjunto de los vectores del plano partido en distintas clases de equivalencia cada una de las cuales es un vector libre del plano.

El módulo, la dirección y el sentido de un vector libre del plano son, respectivamente, el módulo, la dirección y el sentido de uno cualquiera de los vectores que lo forman.

Tomemos un sistema de referencia en el plano, es decir, un punto O, llamado origen de coordenadas, y los vectores libresctor yvector, a los que llamamos “vectores unitarios”, y de los quevector yvector son los representantes respectivos; a la recta en que estávector la llamamos eje de las x y a la recta en que está vector, eje de las y.

or

Tenemos, por tanto, un sistema de referencia, que representamos de la forma vector, y en el que, dado un vector cualquieravectior, si lo proyectamos paralelamente a los ejes y sobre ellos, obtenemos dos vectores: vector yvector, que representaremos por vector yvector respectivamente, y que son las llamadas componentes del vector. A las medidas algebraicas de dichas componentes, es decir, x e y, se les conoce como coordenadas del vector, y existe una correspondencia entre cada vector y sus coordenadas, que es una aplicación biyectiva. Dichas coordenadas están relacionadas con las coordenadas de los puntos A y B, es decir, de los extremos del vector de la siguiente forma:

vector

siendo vector las coordenadas del origen A y vector las del extremo B.

Para sumar dos vectores libresvector, de coordenadas vector yvector, de coordenadas vector, se toma un representante vector devector y un representante vector devector, cuyo origen vector es el extremo del primero, y el vector suma es el vectorvector, representante de los vectoresvector, cuyo origen es el origen del primero, y cuyo extremo es el extremo del segundo. En la siguiente figura, observamos que las coordenadas del vector representante de vector son precisamente la suma de las coordenadas del vectorvector y las del vector vector, es decir, vector.

vector

El producto de un vector libreector por un número real vector, es el vector libre vector, que tiene por medida algebraica el producto devector por la medida algebraica del vectorvector. Si las coordenadas de vector sonvector, las coordenadas de vector sonvector.

Teniendo en cuenta todo lo expuesto anteriormente, podemos establecer la siguiente conclusión: un vector libre del plano vector, cuyas componentes vector yvector tengan por medidas algebraicas respectivas x e y, puede descomponerse de la siguiente forma:

vector

(vector yvector son los vectores unitarios correspondientes).

En efecto, en la primera figura del apartado se comprueba que: vector, ya que vector es un representante de vector yvector es un representante de vector, y por lo dicho acerca de la suma de vectores:

vector

Por otro lado, y según lo expuesto acerca del producto de un número real por un vector:

vector

por tanto, queda demostrada la relación anterior que es básica en el estudio de vectores en el plano.

 

Punto de división de un vector en una razón dada

Dados dos puntos P1 de coordenadas (x1, y1) y P2 de coordenadas (x2, y2), supongamos que se quiere hallar el punto P de coordenadas (x, y) situado en la recta que pasa por P1 y P2, y tal que la razón simple (PP1P2) sea igual a un número real λ dado, es decir: PP1/PP2 = λ.

Se demuestra que el punto P buscado tiene las siguientes coordenadas:

vector

Punto medio de un vector

Como consecuencia de lo dicho en el apartado anterior, pueden hallarse las coordenadas del punto medio de un vector de extremo A y B, teniendo en cuenta que la razón simple ha de servector, ya que las dos mitades han de tener la medida algebraica de igual valor absoluto pero distinto signo. Sustituyendo este valor en las fórmulas anteriores, tenemos para las coordenadas x e y del punto medio del vector vector de coordenadas A (x1, y1) y B vector:

vector

En general, el problema de buscar las coordenadas de un punto cualquiera de división de un vector, consistirá en saber el valor de λ, y aplicar después las fórmulas anteriores.

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