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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opiniýn) |1224 alumnos|Fecha publicaciýn: 01/07/2010
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Capýtulo 11:

 El plano métrico

Generalidades

Vamos a estudiar ahora la comparación de longitud de distinta dirección y la medida de los ángulos que forman dichas rectas. En resumen, estudiaremos las nociones métricas más sencillas como son: longitud, distancia y perpendicularidad.

Producto escalar de dos vectores

Dados dos vectores h yh, se llama producto escalar de los mismos a un número igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Se representa: h, y es:

h

(obsérvese que se trata de un número y no de un vector).

Propiedades. Son las siguientes:

1.-Posee la propiedad conmutativa, ya que los cosenos de ángulos opuestos son iguales, y entonces:

h

2.-Posee la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, es decir:

h

3.-Para multiplicar un número real por un producto escalar se multiplica a uno sólo de los factores:

h

4.-Si uno de los vectores es nulo, el producto escalar es nulo, y lo mismo si los dos vectores son perpendiculares, ya que en este caso: h

5.- El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo, ya que el h.

 

Expresión analítica del producto escalar de dos vectores

Sean:

h

donde h son las coordenadas del vector h,h las del vector h yh,h los vectores unitarios perpendiculares entre sí.

Haciendo el producto y teniendo en cuenta que:

h

nos queda para el producto escalar la expresión:

h

en función de sus coordenadas.

Como consecuencia, se obtiene que el módulo de un vector libre es:

h

Perpendicularidad y ecuación normal de la recta

Se demuestra la siguiente expresión para el coseno del ángulo que forman dos rectas de ecuaciones:

h

Puesto que la condición necesaria para que dos rectas sean perpendiculares es que formen un ángulo de 90º, tenemos, por tanto:

h

es la condición de perpendicularidad, que suele expresarse así:

h

y tomando 1 como constante de proporcionalidad, se obtiene que la perpendicular a una recta h tiene por ecuación:

h

teniéndose que determinar h mediante otra condición.

Si lo que se quiere es la ecuación de la perpendicular a la recta dada desde un punto determinado de coordenadash, dichas coordenadas han de satisfacer a la perpendicular buscada por ser puntos de ella, luego sustituyéndolas en lugar de las variables x e y, y despejandoh, tenemos:

h

que sustituido en la ecuación buscada y operando después queda:

h

para la ecuación de la perpendicular a la rectah desde el punto P h.

Dada una recta r, cuya ecuación vectorial es: h, si es h un vector perpendicular a dicha recta se verifica:h, y como el vector h tiene la misma dirección que el vectorh, también se verifica: h, es decir:

h

que es la ecuación normal de la recta, que se demuestra que es, en función de los coeficientes A, B, C, la siguiente:

h

Distancias

1.- Distancia entre dos puntos. Se llama distancia entre dos puntos P y P’ de coordenadas respectivas h yh al módulo del vector h, es decir:

h

2.- Distancia de un punto a una recta. Dada una recta r, de ecuación h, y un punto P de coordenadas h se demuestra que la distancia del punto a la recta es igual al primer miembro de la ecuación de la recta en que se han reemplazado las coordenadas generales por las del punto, dividida por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes, es decir:

h

donde el signo se elige siempre de forma que la distancia sea positiva.

3.- Distancia entre dos rectas. Para hallar la distancia entre dos rectas se elige un punto cualquiera de una de ellas y se halla la distancia de dicho punto a la otra recta.

Fórmulas de interés     

 

1.- Ecuación de la bisectriz del ángulo de dos rectas. Si las rectas son: h yh, dicha ecuación es:

h

2.- Ecuación de la mediatriz de un segmento. Si son los extremos de dicho segmento los puntosh yh, la ecuación de la mediatriz es:

h

3.- Fórmula del área de un triángulo. Si los vértices del triángulo son los puntosh,h y Ch:

h

o bien:

h

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