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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 10:

 El plano afín

Generalidades

Sea O un punto del plano al que llamaremos origen. Dado un vector libre cualquiera plano, elegimos su representante s, que tiene su origen en el punto O, y hacemos corresponder a cada vector libre el punto P extremo de dicho representante, con lo que tenemos una correspondencia entre los vectores libres del plano y los puntos de dicho plano, siendo las componentes del vectors las coordenadas de dicho punto P.

El plano, considerado como conjunto de puntos y prescindiendo de las nociones de medida de ángulos y de distancias, se le denomina plano afín.

Ecuaciones de la recta en el plano afín

1.-Ecuación vectorial de la recta. Si en la expresión vectorial:

s

se le dan a t todos los valores reales, siendos ys dos vectores dados, y se obtiene un conjunto de vectoress, al que corresponde un conjunto de puntos del plano que denominamos con el nombre de “recta”. Si a los puntos del plano correspondientes a los vectoress,s’,s”, etc., los representamos por P, P’, P”, etc., en la figura siguiente veremos:

s

Para un valor s, el vector s es igual a s, y le corresponde el punto P; para un valors,s, y le corresponde el punto P’; para un valors,s, y le corresponde el punto P”, etc., obteniéndose la recta formada por los puntos del plano P, P’, P”… El vectorsdefine la dirección de la recta, por lo que se le llama vector director de la misma.

2.-Ecuaciones paramétricas de la recta. Si sons las componentes de un vector dados,s las del vector s ys las del vector s, las componentes del vector s seráns; si tenemos en cuenta la ecuación vectorial de la recta, las componentes del vector s serán:

s

 Estas dos ecuaciones anteriores o ecuaciones paramétricas de la recta nos dan las coordenadas de un punto cualquiera en función de un parámetro t.

3.-Ecuación continua de la recta. Partiendo de las ecuaciones paramétricas anteriores y eliminando el parámetro t de ellas, se obtiene:

s

En ella, los valores s ys reciben el nombre de “parámetros directores de la recta

4.-Ecuación general de la recta. Quitando denominadores en la ecuación anterior, obtenemos:

s

en la cual, y llamando a s,s ys, queda de la forma:

s

o ecuación general de la recta en la cual A, B y C son número conocidos, mientras que x, y son las variables.

5.-Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente. La ecuación continua de la recta puede escribirse también:

s

A s se le representa con la letra m, y es la pendiente de la recta; de esta forma tenemos otra ecuación de la recta en función de dicha pendiente, y de las coordenadas de un punto, que más generalmente se suelen escribir comos en lugar de s, quedando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente así:

s

6.-Forma explícita de la ecuación de la recta. Para ésta, se parte de la forma punto-pendiente, pero considerando el punto en el eje de ordenadas, es decir, un punto cuya abscisa es 0 y su ordenada, llamada ordenada en el origen, la representamos por b; en esta forma, la ecuación queda:

s

7.-Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si una recta pasa por dos puntos P1 de coordenadasd y P2 de coordenadas d, su pendiente viene dada por la expresión:

d

por lo que la ecuación de dicha recta quedará de la forma:

d

8.-Ecuación canónica de la recta. Si la recta dada corta al eje de abscisas en el punto d y al eje de ordenadas en el puntod, sustituyendo en la forma anterior y haciendo operaciones, se obtiene:

d

Llamándose, respectivamente, a los segmentos a y b, abscisa en el origen y ordenada en el origen.

Incidencia, paralelismo y alineación

A).-Incidencia. Por definición, un punto está en una recta si sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha recta. Se dice también que dicho punto es incidente con la recta. Dado un punto cualquiera y la ecuación de una recta, para saber si dicho punto es o no incidente con dicha recta, sustituimos las coordenadas del punto en lugar de las variables x e y de la recta; si lo que obtenemos es una identidad, dicho punto es incidente con la recta, y si no es identidad, el punto no está en la recta.

Dado un punto de una recta y una de sus coordenadas, para conocer la otra basta sustituir en la ecuación de la recta la coordenada conocida y despejar la otra.

B).-Intersección de dos rectas. Los puntos de intersección de dos líneas son puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones de ambas y son los únicos puntos que satisfacen dicha condición. Por tanto, para hallar los puntos de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas, pudiéndose presentar tres casos diferentes:

1. Que el sistema tenga solución, lo que quiere decir que las rectas tienen un solo punto común o bien que dichas rectas son secantes.

2. Que el sistema no tenga solución, lo que quiere decir que las rectas no se cortan, es decir, son paralelas.

3. Que el sistema tenga infinitas soluciones, entonces las rectas son coincidentes.

En el segundo caso se demuestra que para que ocurra, los coeficientes de las incógnitas han de ser proporcionales, pero no los términos independientes. Esto quiere decir que, dadas dos rectas en su forma general:

d

y

d

la condición de paralelismo de las mismas se indica mediante:

d

Sin embargo, para que dos rectas sean coincidentes, tanto los coeficientes de las incógnitas como los términos independientes han de ser proporcionales, o sea:

d

C).-Ecuación de la paralela a una recta desde un punto dado. Dada una recta cualquiera: d, si queremos buscar una paralela a ella desde un punto dado, como sabemos que los coeficientes de sus incógnitas han de ser proporcionales, elegimos las constantes de proporcionalidad más sencilla, es decir, el valor 1, con lo que tenemos:

d

para la ecuación de la recta buscada.

Nos falta conocer d, pero sabemos que la recta ha de pasar por el punto dado Pd, por lo que dichas coordenadasd ed han de satisfacer la ecuación de la recta:

d

de donde podemos despejar d, que sustituido en la recta buscada y operando nos da para ella:

d

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