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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 2:

 Número complejo

Números imaginarios

Dentro del campo de los números reales es imposible calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Este y otros muchos problemas se van a solucionar con la introducción de los llamados números imaginarios, que son un caso particular de los números complejos.

Se ha convenido en llamar “unidad imaginaria” al número numero, y se le representa por la letra i.

numero

Concepto de número complejo

Número complejo es un par de números reales (a, b) dados en un orden determinado; entendiendo que a es la parte real y b la parte imaginaria.

numero “forma binómica”

numero

Cuando numero el número se llama “imaginario puro”

Dos números complejos son iguales si son respectivamente sus partes real e imaginaria.

Dos números complejos son conjugados si tienen igual la parte real y la parte imaginaria es igual en valor absoluto pero con distinto signo.

numero

Dos números complejos son opuestos si son opuestas sus dos componentes.

numero

Representación vectorial de los números complejos

Se llama “afijo” de un número complejo al punto del plano por el que viene representado.

Puesto que un número complejo está formado por dos partes, una real y otra imaginaria, su afijo estará representado por un punto del plano tal que su distancia al eje vertical corresponda al número de unidades reales y su distancia al eje horizontal corresponda al número de unidades imaginarias.

numero

En la figura está representado el número complejonumero.

Como vemos en ella, el número complejo está representado por un vector cuyo origen coincide con el de coordenadas (el punto O) y cuyo extremo es el afijo del complejo (el punto M).

Formas de escribir un número complejo

Existen 4 formas:

1ª.- Como par: a, b.

2ª.- Forma binómica: a + bi.

3ª.- Forma polar:

R = longitud del vector (módulo del complejo)

α = ángulo que forma el vector con el eje horizontal

4ª.- Forma trigonométrica: R (cos α + i sen α)

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

numero

numero

dado un número complejo en cualquiera de las cuatro formas citadas puede ponerse en todas las demás.

Estructura de conjunto C de los números complejos

Adición de números complejos

Para sumar dos complejos escritos en forma binómica se escribe como parte real la suma de las partes reales de los sumandos y, como parte imaginaria, la suma de las partes imaginarias de los sumandos.

Propiedades:

1.- Es una operación interna.

2.- Tiene la propiedad conmutativa.

3.- Tiene la propiedad asociativa.

4.- Posee elemento neutro que es el número complejonumero

5.- Posee elemento simétrico que es el opuesto.

Por tanto, el conjunto C de los números complejos tiene estructura de grupo aditivo conmutativo.

Interpretación geométrica de la adición de complejos

Dados dos números complejos (a + bi) y (a´ + b´i), cuyos vectores representativos son OA y OA´, su suma, es decir, el número complejo [(a + a´) + (b + b´)i] está representado por el vector OM, que es la diagonal del paralelogramo que forman los dos vectores dados y sus paralelos.

numero

Podemos comprobar que se verifica que: OP = QR y MS = A´P (los dos triángulos rayados son iguales).

Luego: OR = OQ + QR = OQ + OP; m = a´ + a.

Además: MR = MS + SR = A´P + SR; n = b´ + b.

Si se trata de sumar tres o más sumandos (vectores) se van poniendo unos a continuación de otros, y el vector suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último.

numero

Multiplicación de números complejos

La multiplicación puede realizarse en forma binómica y también en forma factorial (o trigonométrica).

El producto de dos complejos es otro complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos de los factores.

numero

La multiplicación en forma binómica se hace como polinomios de primer grado.

numero

al hacer el producto hemos tenido en cuenta quenumero, con lo que el factor numero se nos transforma en nuemro.

Las propiedades de esta operación son:

1.- Es una operación interna.

2.- Tiene la propiedad conmutativa.

3.- Tiene la propiedad asociativa.

4.- Posee elemento neutro que es el número complejonumero.

numero

5.- Posee elemento simétrico, ya que para que éste exista tiene que haber, dado un número complejonumero, otro número complejo nuemro, de forma que el producto de ambos sea el elemento neutro.

numero

numero

numero

Por estas cinco propiedades del conjunto C de los números complejos tiene estructura de grupo multiplicativo conmutativo.

Como además la multiplicación de números complejos es distributiva respecto a la suma de los mismos, y la suma es también conmutativa, el conjunto C de los números complejos es un cuerpo conmutativo.

División de números complejos

Para dividir en forma polar o en forma factorial, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

Para dividir en forma binómica, como hay que hacer desaparecer el factor i del divisor, se multiplican ambos términos por el conjugado del divisor.

nuemro

numero

El cociente es el número complejo:numero

Potencia y raíces de los números complejos

Potencia enésima de un complejo

Puesto que la potencia enésima equivale a un producto de n factores iguales, para elevar un número complejo a un exponente n, si está en forma polar o factorial se eleva el módulo al exponente y el argumento se multiplica por dicho exponente.

Si se quiere hacer en la forma binómica se aplica la regla de Newton para la potencia enésima de un binomio.

Raíces de los números complejos

Se hace en forma polar o en forma factorial, es decir, utilizando módulos y argumentos.

Supongamos que

numero

tendremos entonces:

numero

y para que esto se verifique, es preciso que se cumplan las igualdades:

numero

de donde se deduce que:

nuemro

numero

Observamos que, al tomar K los valores naturales desde 1 hasta n – 1, el ángulo toma valores diferentes. Por tanto, todo número complejo tiene n raíces enésimas distintas, cuyo módulo es igual a la raíz enésima del módulo del radicando, y cuyos argumentos son:

número numero

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