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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 6:

 Matrices y determinantes

Matrices

Se llama matriz a un conjunto de números llamados elementos o términos de la matriz, distribuidos en filas o columnas, de forma que todas las filas tengan el mismo número de elementos, y lo mismo ocurra con las columnas.

Los elementos de una matriz se representan por una letra minúscula afectada por dos subíndices que indican, el primero la fila y el segundo la columna a que pertenece el elemento. Por ejemplo, el elemento aij está situado en la fila i y en la columna j.

Una matriz que tiene m filas n columnas se dice que es una matriz m x n. Si m = n, es decir, una matriz n x n se llama matriz cuadrada, las demás se llaman rectangulares.

matrices

Es una matriz rectangular 2 x 4 (2 filas y cuatro columnas).

Se llama matriz traspuesta de una dada a la que resulta de tomar sus filas por columnas y viceversa.

En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de elementos situados sobre la línea que va del vértice superior de la izquierda al inferior de la derecha, y “diagonal secundaria” al conjunto de elementos que van desde el vértice superior de la derecha al inferior de la izquierda.

 

Adición de matrices de las mismas dimensiones

Se llama suma de dos matrices A y B de las mismas dimensiones a la matriz cuyo término

matrices

Ejemplo:

matrices

Propiedades:

1.- Es una operación interna.

2.- Posee la propiedad conmutativa.

3.- Posee la propiedad asociativa.

4.- Tiene elemento neutro que es la matriz neutra o matriz cero, de la forma:

atrices

En general, existe matriz neutra de dimensión m x n.

5.- Dada una matriz cualquiera A, existe su opuesta (-A), tal que sumada con la primera da como resultado la matriz neutra. La matriz (-A) está formada por los mismos elementos que A, pero con distinto signo.

Por tanto, las matrices de dimensión m x n forman un grupo aditivo conmutativo.

Producto de una matriz por un número

El producto de una matriz A por un número n es la matriz n ∙ A, cuyos términos se obtienen multiplicando por n todos los términos de la matriz A.

Ejemplo:

atrices

Producto de matrices

Dada una matriz fila matrices dematrices y una matriz columna          matrices

definimos el producto A ∙ B como el número real:

tri

matrices

Dadas ahora dos matrices matrices,matrices dematrices,matrices respectivamente, la matriz matrices se llama matriz producto y se denota con matrices, cuyo elemento matrices es igual a:

matrices

es decir, el elemento atrices es el producto de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B. El orden de la matriz producto C es m x p. Por tanto, si A es una matriz m x n y B es una matriz r x s

-         existe A ∙ B si n = r

-         existe B ∙ A si m = s

Está claro que esta última operación no es interna ni externa, salvo que matrices. En este último caso, las tres operaciones definidas antes dotan a matrices de estructura de álgebra no conmutativa.

 

Transposición de una matriz

Dada una matriz A de orden m x n la operación transposición convierte la matriz dada en otra de orden n x m que designamos por At y se llama «matriz transpuesta de A», tal que tiene como fila la primera columna de A, por segunda fila la segunda columna etc. Con símbolos:

matrices

Evidentemente se cumple siempre (At)t = A.

Desde luego, de la definición de transposición se deduce que para que una matriz sea igual a su transpuesta es necesario que sea cuadrada.

Determinantes

Se llama término del determinante de una matriz cuadrada de orden n al producto de n elementos de la matriz, tomados de modo que entre uno solo de cada fila y uno solo de cada columna.

Se llama determinante de una matriz cuadrada a la suma algebraica de todos los términos de dicho determinante.

matrices

En esta suma algebraica hay que tener muy en cuenta el signo que acompaña a cada uno de los términos determinante.

El método general para desarrollar un determinante consiste en tomar los elementos de una fila o columna cualquiera y multiplicar cada uno de ellos por el determinante de un orden menos, que resulta de eliminar la fila y columna correspondientes a dicho elemento; después, se suman todos esos productos. Cada elemento va precedido del signo que le corresponda según el siguiente esquema general:

matrices

Ejemplo: Hallar el determinante de la matriz cuadrada:

matrices

(La matriz se representa entre paréntesis; el determinante, entre barras).

matrices

Como caso particular existe un procedimiento para desarrollar los determinantes de orden 2 y los de orden 3.

Los de segundo orden se desarrollan así:

matrices

Los de tercero así:

matrices

El primero de los términos es la diagonal principal, el segundo y tercero son las paralelas a dicha diagonal (los tres escritos con signo más), los restantes términos que vienen escritos con signo menos son la diagonal secundaria y las paralelas a ella. Esto puede apreciarse en la siguiente figura, en la que hemos representado con una línea de color los lugares correspondientes a los productos positivos y con una línea negra los correspondientes a los negativos.

matrices

Esta es la denominada regla de Sarrus. Vamos a aplicarla para terminar de desarrollar el anterior ejemplo:

matrices

Cuando se vaya a desarrollar un determinante de orden n por el procedimiento de los elementos de una fila o columna, debemos tener en cuenta que nos conviene considerar la fila o columna con más ceros, pues esos términos, al ir multiplicados por cero, se anulan.

Se llama rango o característica de una matriz al orden del determinante que lo tiene mayor, de entre los que se pueden formar distintos de cero con filas y columnas de dicha matriz.

matrices

matrices

A continuación, citaremos algunas propiedades interesantes de los determinantes:

1.-El determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales.

matrices

2.-Si todos los elementos de una fila (columna) contienen un factor común, éste puede sacarse fuera del determinante. Es decir:

matrices

3.-Si en un determinante se permutan entre sí dos filas o dos columnas, su valor no varía, pero su signo cambia.

Como corolarios inmediatos de las propiedades se tienen:

a.-Un determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo.

b.-En un determinante, si a una fila (columna) se le añade una combinación lineal de las otras filas (columnas) el valor del determinante no varía.

c.-Si un determinante tiene una fila (columna) cuyos elementos son todos iguales a cero, es igual a cero.

Las propiedades y corolarios que acabamos de señalar tienen gran interés práctico, bien porque nos permiten calcular el valor de un determinante, bien porque sirven para reducir los elementos lo que facilita el desarrollo posterior.

Capítulo anterior - Polinomios

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