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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opiniýn) |1224 alumnos|Fecha publicaciýn: 01/07/2010
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Capýtulo 7:

 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Ecuaciones

Ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. Resolver la ecuación es ver para qué valores de las letras es cierta la igualdad.

Se denominan “miembros” de la ecuación a cada una de las expresiones que se encuentran a ambos lados del signo igual, llamándose al que está a la izquierda “primer miembro” y “segundo miembro” al que está a la derecha.

En cada miembro se denominan términos las expresiones que están separadas por los signos + ó -, si no están dentro del paréntesis.

Siempre que para la resolución de la ecuación interese, puede cambiarse un término de un miembro a otro, teniendo en cuenta la siguiente regla: “todo término puede cambiarse de miembro cambiándole el signo”.

 

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Una ecuación de primer grado es aquella cuyo término de mayor grado es de grado 1. Suelen conocerse con el nombre de ecuaciones lineales.

El método general de resolución consiste en reducirlas a la forma: ecuavciones, de la cual puede despejarse la incógnita de la forma:ecuaciones, pudiéndose presentar varios casos:

1.-Siecuaciones, la ecuación tiene una sola solución.

2.-Siecuaciones, la ecuación no tiene solución, puesto queecuaciones es imposible.

3.-Sicuaciones, cualquier número es solución de la ecuación, puesto que todo número multiplicado por cero da cero. La ecuación se dice que es indeterminada. Se trata en realidad de una identidad en lugar de una ecuación.

4.-Queaciones, entonces: ecuaciones.

Para reducir una ecuación cualquiera a la forma canónicaecuaciones se dan los siguientes pasos:

a.-Se quitan los paréntesis, si los hay.

b.-  Si hay denominadores se quitan éstos, para lo cual se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores y se multiplica cada término por el cociente de dividir dicho mínimo común múltiplo entre el denominador que tuviese.

c.-Se pasan a un miembro todos los términos que lleven la incógnita, y al otro todos los que no la lleven.

d.-Operación de todos los términos semejantes para que a ambos lados de la ecuación quede una única cantidad y se consiga una expresión de la forma cuaciones, donde a sea el resultado de operar todos los coeficientes ligados a la incógnita y b el resultado de operar las cantidades conocidas.

cuaciones

ecuaciones

ecuaciones

d

d

de donde se obtiene, al despejar por medio de dividir toda la ecuación por 3, que su raíz o solución es:d

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Son aquellas en que, después de quitados paréntesis, denominadores y reducidos términos semejantes, quedan de la forma:

d

es decir, es aquélla cuyo término de mayor grado es de segundo grado.

Cuando son nulos los coeficientes b ó c, entonces a las formas obtenidas se las llama ecuaciones incompletas.

Para su resolución se demuestra la siguiente regla:

d

Por lo que, en general, estas ecuaciones tienen dos soluciones.

Se llama discriminante de la ecuación a la expresión d, que está debajo de la raíz, y según el carácter de éste podrán ocurrir tres cosas:

1.-Si el discriminante es mayor que cero, es decir:d, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.

2.-Si el discriminante es igual a cero,d, la ecuación tiene una sola solución o solución doble.

3.-Si el discriminante es menor que cero, es decir:d, la ecuación no tiene soluciones reales, sino imaginarias.

d

d

d

d

d

g

Ecuaciones bicuadradas

Son las que una vez reducidas quedan en la forma:

g

El método de resolución es el mismo que para las ecuaciones de segundo grado, haciendo previamente el cambio:g, con lo que la ecuación queda de la forma:

g

Una vez resuelta la ecuación de segundo grado que ha resultado, lo que obtenemos es el valor de m; por tanto, hemos de hacer de nuevo el cambio para obtener los valores de x, que son los que interesan. De esta forma, una ecuación bicuadrada tendrá en general cuatro soluciones distintas.

g

g

g

g

g

Las cuatro soluciones de x song

Ecuaciones con una incógnita de cualquier grado

Para las demás tipos de ecuaciones con una sola incógnita que no correspondan a los tres casos anteriores, no existe ninguna regla general, pero pueden encontrarse sus soluciones enteras, si las tienen, aplicando la regla de Ruffini que hemos visto en el tema correspondiente a los polinomios y según la cual para un polinomio Pn (x), entero en x, sea divisible por el binomio g, es condición necesaria y suficiente que “a” sea un valor de x para que se anule Pn (x), o lo que es lo mismo, que “a” sea solución de la ecuación:

g

Esto nos permite llegar a la siguiente conclusión: Para buscar las soluciones enteras de una ecuación se divide el polinomio Pn (x) entre g y, cuando esta división sea exacta, es decir R = 0, “a” es solución de la ecuación.

Por otro lado, existen otras dos reglas:

- Una ecuación algebraica de grado n tiene n raíces, que pueden ser iguales o distintas, reales o imaginarias.

- Las soluciones de dicha ecuación han de ser divisores del término independiente.

Con todo esto podemos buscar las soluciones enteras de cualquier ecuación utilizando el razonamiento que seguiremos en el siguiente ejemplo:

g

Puesto que el término independiente es 6, las soluciones enteras que tenga la ecuación han de ser divisores de 6; por tanto, pueden ser 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. Probemos la primera de ellas por la regla de Ruffini:

g

De la misma forma probaremos las demás, hasta encontrar una que nos da resto cero:

g

Una solución de la ecuación esg. El cociente de la división de la ecuación porg es:

g

luego si lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta, podemos encontrar las dos soluciones que nos faltan.

g

g

Por tanto las tres soluciones de la ecuación son:g.

Ecuaciones con varias incógnitas

Cuando una ecuación tiene varias incógnitas, basta despejar una en función de las demás y dar valores a ésta obteniéndose valores para la despejada.

g

g

g

g

Dando valores a “y” se obtienen los correspondientes valores de “x”.

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que tienen que verificarse a la vez.

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar la solución o soluciones que verifican todas las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Para que un sistema de ecuaciones pueda resolverse es condición necesaria que tenga el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Si es así, y las ecuaciones son lineales, los métodos generales de resolución son los siguientes:

1.-Método de sustitución. Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir ese valor en las otras ecuaciones, con lo que el sistema queda reducido a una ecuación y una incógnita menos. Si repetimos esto las veces que sea necesario podemos quedarnos con una sola ecuación, que una vez resuelta nos dará el valor de una de las incógnitas, después, por sucesivas sustituciones, obtendremos el valor de todas las demás.

g

Despejamos x en la primera ecuación: g, y sustituimos ese valor de x en las otras dos ecuaciones:

g

g

g

g

De nuevo sustituimos y en la segunda de estas ecuaciones:g, y sustituimos en la primera:

g

Sustituimos el valor de z en:

g

Ponemos estos dos valores en la expresión en que despejamos la x:

g

Luego, las soluciones del sistema son:

g

 

2.-Método de reducción. Consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por un número, de forma que después, al sumar o restar ambas ecuaciones, desaparezca una de las incógnitas.

g

Sumando las dos primeras ecuaciones como están:

g

Multiplicamos la segunda por 2 y se la sumamos a la tercera:

g

Como g;g

Estos dos valores puestos en cualquiera de las ecuaciones nos dan para y el valor 2. Por tanto,g.

3.-Método de igualación. Consiste en despejar una incógnita en todas las ecuaciones y después igualar los valores obtenidos.

g

Despejamos x en las tres ecuaciones:

g

igualamos cada dos de los resultados:

g

En estas dos ecuaciones, despejamos de nuevo otra incógnita, por ejemplo la z, e igualamos los resultados:

g

Conocido este valor, ya podemos obtener los otros dos por cualquiera de los procedimientos.

4.-Método de resolución por la regla de Cramer. Dado un sistema de la forma:

g

Consideremos el siguiente determinante:

g

Si dicho determinante, es decir, el determinante formado por los coeficientes de todas las incógnitas, es distinto de cero, entonces todas las soluciones vienen dadas por un cociente entre dos determinantes que son: el denominador que es D, y el numerador, que es el que resulta de sustituir en D la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita despejada por una columna formada por los términos independientes Ci.

g

 

g

Despejamos cada una de las incógnitas de la forma expuesta:

g

g

g

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