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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 3:

 Combinatoria

Generalidades

El cálculo combinatorio tiene como fin el estudio de las propiedades de los diversos grupos que pueden formarse, según una ley dada, con un número finito de elementos de cualquier naturaleza, proponiéndose hallar una regla que permita formar todos estos grupos y su número.

Los tres grupos más importantes son: variaciones, permutaciones y combinaciones.

Variaciones

Dados m elementos distintos, se llaman variaciones n-arias de m, o bien, variaciones de m elementos tomados de n en n, a los diferentes grupos que pueden formarse con esos m elementos, de forma que cada uno de los grupos tenga n elementos distintos y que cada dos grupos difiera, o bien en la naturaleza de algún elemento, o bien en el orden de colocación de los mismos. Se representa así:combinatoria.

Ley de formación: Dados m elementos a, b, c…l, m, n, p.

-         Variaciones monarias: combi

combi

-         Variaciones binarias: combi

combi

-         Variaciones ternarias: combi

combi

En general, para formar las variaciones n-arias agregamos a la derecha de cada una de las (n-1) arias, uno a uno, los m-(n-1) elementos que no entran en ella.

Su número: Teníamos:

combi

combi

combi

En general:

combi

Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en un banco que tiene sólo cuatro plazas ocho personas?

Se trata de un caso de variaciones de ocho elementos tomados de cuatro en cuatro. Por tanto,

combi

Se pueden sentar de 1.680 formas distintas.

También observamos que se puede aplicar para el cálculo de ese número de variaciones de m tomados de n en n la siguiente regla: “Es igual a un producto de n factores, el primero de los cuales es m y los demás van disminuyéndose en una unidad”.

 

Variaciones con repetición

Se llaman variaciones con repetición  tomados de n en n, a los diferentes grupos que con ellos pueden formarse, de tal modo que en cada grupo entren n elementos, pudiendo alguno repetirse una o varias veces y considerando dos grupos distintos si se diferencian en algún elementos o en el orden en que están calculados.

El número de variaciones con repetición de orden, que se pueden formar con m elementos, se indica con el símbolo:combi

El número de variaciones con repetición de m elementos, tomados de n en n, es igual a una potencia de base m y exponente n:

combi

Permutaciones

Se llaman permutaciones de m elementos distintos, y se representan por Pm, a los distintos grupos que pueden formarse, entrando en cada uno de ellos los m elementos dados, difiriendo únicamente en el orden de sucesión de los mismos.

Se trata de un caso particular de las variaciones, ya que son combi.

Por tanto, el número de las permutaciones de m elementos será:

combi

Es decir, el número de permutaciones de m elementos es el producto de los m primeros números naturales, el cual recibe el nombre de “factorial de m” y se escribe: m!

combi

Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse los jugadores de un equipo de fútbol, admitiendo que un defensa y un extremo siempre juegan en la misma posición?

combi

Se trata de buscar el número de permutaciones de nueve jugadores:

combi

 

Permutaciones con repetición

Dado un conjunto M con m elementos, entre los cuales hay un cierto número a de elementos de una clase, otro número b de elementos de otra clase y un tercer número c de elementos de otra clase, y así sucesivamente, se llaman permutaciones con repetición a las diferentes formas en que se pueden ordenar esos m elementos. Una ordenación se distingue de otra por el lugar que ocupan dos elementos distintos

En general, si entre los m elementos que figuran en una permutación, un elemento aparece repetido a veces, otro b veces, otro c veces, el número de permutaciones con repetición se expresa así:

combi

Combinaciones

Se llaman combinaciones n-arias de m elementos distintos a los diferentes grupos que se pueden formar, figurando n de éstos en cada uno, de modo que cada dos grupos se diferencien al menos en la naturaleza de uno de los elementos.

En las variaciones, los grupos se diferenciaban o en la naturaleza o en el orden de los elementos, en las permutaciones, sólo en el orden, y aquí, sólo en la naturaleza. Por tanto, se puede deducir fácilmente que si tenemos las combinaciones de m elementos tomadas n a n y las permutamos entre sí todas ellas (variamos el orden de todas las formas posibles), lo que obtenemos son precisamente las variaciones de esos m elementos tomados de n en n. Luego:

combi

combi

Hay otra expresión más utilizada que se obtiene a partir de ésta, multiplicando el numerador y el denominador porcombi, con lo que:

combi

combi

y puesto que lo que tenemos en el numerador es m!:

combi

Ejemplo: ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité de cuatro miembros de un grupo de 12 personas, si uno de los miembros ha de estar incluido en todos los grupos?

Se trata de buscar el número de combinaciones de 11 personas de tres en tres.

combi

 

Combinaciones con repetición

Llamamos combinaciones con repetición de m elementos distintos tomados de n en n a todos los conjuntos de n elementos tomados entre los m dados permitiendo repetir elementos.

La fórmula para calcular el número de posibles combinaciones con repetición de m elementos distintos tomados de n en n es:

combi

Números combinatorios

La expresión

combi

se lee como “m sobre n” y se representa porcombi que recibe el nombre de número combinatorio llamándose en él a “m” numerador y a “n” orden.

Propiedades de los números combinatorios.

1.- Dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes complementarios son iguales, entendiendo por órdenes complementarios a los que suman el mismo valor que el numerador:

combi

2.- El numerador combinatoriocombi es igual a la suma de los números combinatorioscombi ycombi, es decir:

combi

Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes:

-         Cualquier número sobre 0 es igual a 1.

combi

-         Todo número sobre sí mismo es igual a 1.

combi

-         Un número sobre 1 es siempre igual al número.

potencia

Ejemplo: En el desarrollo de potencia, escribir el término que ocupa el lugar 13 del mismo.

potencia

Relaciones entre los coeficientes binómicos

Son las siguientes:

1.-Los coeficientes de dos términos equidistantes de los extremos son iguales.

Esto se debe a que dichos coeficientes son números combinatorios de igual numerador y órdenes complementarios y por tanto son iguales.

De acuerdo con esto, basta calcular la mitad de los coeficientes.

2.-Cada coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término y dividiéndole por el exponente de b en el término que se calcula.

potencia

Triángulo de Tartaglia

Al estudiar los números combinatorios vimos una propiedad de éstos que decía: la suma de dos números combinatorios de igual numerador y órdenes consecutivos es igual a otro número combinatorio de numerador una unidad más y el orden del mayor.

potencia

Esto nos permite el cálculo rápido de los números combinatorios de base m conocidos los de base m -1 y, por tanto, los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio con exponente m, conocido el de desarrollo de la misma potencia con exponente m -1.

potencia

En este triángulo aritmético o de Tartaglia están representados los coeficientes de los desarrollos de las potencias de un binomio con exponentes sucesivos 1, 2, 3, 4, 5…, y como vemos, una vez escritas las oblicuas 1, 1, 1,… y según la propiedad antes enunciada, cada elemento es la suma de los dos que lleva encima. En él apreciamos también la igualdad de los coeficientes equidistantes de los extremos.

Problema de aplicación. El tercero y el cuarto término del desarrollo de potencia son iguales a 90 y 270. Halla x e y.

potencia

potencia

Dividiendo miembro a miembro:

potencia

valor que sustituido en una de las ecuaciones y resuelta ésta da como soluciones:

potencia

potencia

combicombi

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