12.176 cursos gratis
8.742.283 alumnos
Facebook Twitter YouTube
Busca cursos gratis:

Matemáticas. Números y operaciones (1/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
5,50/10 (2 opiniones) |1127 alumnos|Fecha publicación: 09/06/2010
Envía un mensaje al autor

Capítulo 6:

 Número racional

 

Generalidades

En el campo de los números enteros no es posible:

-         dividir en el caso de que el dividendo no sea múltiplo del divisor.

-         lo que queremos medir no contiene un número exacto de veces el patrón de medida que estamos utilizando.

Estas razones obligan a ampliar el campo de los números introduciendo los llamados números racionales o fraccionarios.

Concepto de número racional

Una fracción es un operador de la forma: (multiplicar por a y dividir por b), a y b ∈ Z; a y b ≠ 0.

f

leer denominadores:

2 medios

3 tercios

4 cuartos

5 quintos

6 sextos

7 séptimos

8 octavos

9 novenos

10 décimos

11 onceavos

.

.

.

.

40 cuarentavos

f

f

f

operadores equivalentes, luego las fracciones 2/3 y 6/9 son también equivalentes.

Para hallar una fracción equivalente a otra basta con multiplicar o dividir su numerador y su denominador por el mismo número. De esta forma siempre podemos:

- simplificar una fracción (otra equivalente de términos más pequeños)

- amplificar una fracción (otra equivalente de términos mayores)

si una fracción no admite simplificación se dice que es irreducible.

La equivalencia de fracciones es relación de equivalencia:

-         reflexiva

-         simétrica

-         transitiva

Por tanto, en el conjunto F de las fracciones puede hacerse una partición.

El conjunto de todas las fracciones equivalentes entre sí forman una clase. Pues bien, cada una de estas clases es un número racional

Clases:

-         infinitos elementos (fracciones)

-         cada fracción es un representante de dicho nº racional (clase)

-         generalmente la fracción irreducible es el representante canónico de dicha clase (nº racional)

El conjunto de todos los números racionales se designa con el símbolo Q.

Estructura del conjunto Q

Estudiaremos las distintas operaciones:

 

Suma de números racionales

Para sumar varios números racionales elegimos de cada uno de ellos un representante que tenga el mismo denominador, y entonces se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

f

f

Buscamos los representantes de cada una de esas clases cuyo denominador sea 40, para lo cual dividimos 40 entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador:

f

Propiedades:

-         Es operación interna

-         Posee propiedad conmutativa

-         Posee propiedad asociativa

-         Posee elemento neutro que es el número racional

f

-         Todo elemento {a/b} posee elemento simétrico {- a/b}

El conjunto Q para la operación de sumar tiene estructura de grupo abeliano.

Diferencia de números racionales

Análogamente a los números enteros, la diferencia se puede considerar como un caso particular de la suma, ya que restar un número racional es lo mismo que sumar el opuesto.

Producto de números racionales

f

Propiedades:

-         Es una ley de composición interna

-         Posee la propiedad conmutativa

-         Posee la propiedad asociativa

-         Posee elemento neutro {1/1}

-         Todo número racional, excepto el 0, tiene elemento inverso, siendo el inverso de {a/b} el número {b/a}

f

Por tanto, el conjunto Q* = Q – {0} con respecto a la multiplicación es un grupo conmutativo.

Como además se verifica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma {Q, +, ∙}, tiene estructura de cuerpo conmutativo.

Cociente de números racionales

Dados dos números racionales m y n, llamados, respectivamente, dividendo y divisor, se dice que p es el cociente de ambos si se verifica:

f

luego encontrar el cociente es lo mismo que efectuar la división.

El cociente existe siempre en Q*, pues se observa que es:

f

que existe siempre, por ser la multiplicación una operación interna y existir el inverso de todo elemento distinto de 0.

Potenciación de base de un número racional y exponente un número entero

Exponente positivo

f

teniendo en cuenta los casos particulares:

f

Exponente negativo:

f

Inmersión del conjunto Z en el conjunto Q

Análogamente al razonamiento empleado al incluir al conjunto N como subconjunto de Z, comprobaremos que los conjuntos Z y Q1 (números racionales con denominador 1) son idénticos, es decir, se comportan exactamente igual, pudiéndose considerar Z como subconjunto de Q en virtud de esta identificación.

Extiende Z a otro conjunto más amplio, el conjunto de los números racionales Q, en el que las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) son internas.

Números decimales

Para hallar el valor de una fracción, es decir, para convertir ésta en número decimal, se añaden ceros al numerador, y al efectuar la división entre el denominador, en el momento de bajar el primer cero añadido, se pone una coma en el cociente, con lo que obtenemos una representación decimal aproximada de orden n del número dado.

f

Operaciones:

-         Sumar o restar decimales

f

-         Multiplicar decimales

f

-         Dividir decimales

f

f

Fracciones generatrices

Se llama fracción generatriz de una expresión decimal a una fracción cualquiera representante del número racional del que es representación la expresión decimal dada.

Reglas:

-         Si el decimal es exacto, se escribe el número que resulta de quitar la coma al decimal, partido de la unidad seguida de tantos ceros como cifras hay después de la coma.

f

-         Si el número es periódico puro, la fracción tiene por numerador la parte entera seguida del primer período (sin coma) menos la parte entera, y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.

f

-         Si el número es periódico mixto, el numerador está formado por la parte entera seguida de la parte no periódica y del primer período menos la parte entera seguida de la parte no periódica, y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como tiene la parte no periódica.

f

El arco se coloca encima de las cifras correspondientes al periodo:

f

Capítulo siguiente - Radicación
Capítulo anterior - Número entero

Nuestras novedades en tu e-mail

Escribe tu e-mail:



MailxMail tratará tus datos para realizar acciones promocionales (vía email y/o teléfono).
En la política de privacidad conocerás tu derechos y gestionarás la baja.

Cursos similares a Matemáticas. Números y operaciones (1/2)



  • Vídeo
  • Alumnos
  • Valoración
  • Cursos
1. Matemáticas. Números y operaciones (2/2)
Matemáticas. Números y operaciones es un curso que trata los principios de la... [01/07/10]
1.224  
2. Números imaginarios (Matemáticas). Ejercicios
En este vídeo tutorial de matemáticas se explican los conceptos y resoluciones... [11/06/12]
20
Curso con video
3. Función exponencial natural. Matemáticas
Presentamos un curso de matemáticas que enseña la función exponencial natural ,... [09/10/12]
10
Curso con video

¿Qué es mailxmail.com?|ISSN: 1699-4914|Ayuda
Publicidad|Condiciones legales de mailxmail