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Matemáticas. Números y operaciones (1/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
5,50/10 (2 opiniones) |1127 alumnos|Fecha publicaciýn: 09/06/2010
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Capýtulo 4:

 Número natural

 

Concepto de número natural

Puede definirse como la clase de todos los conjuntos coordinables entre sí, es decir, el número de elementos que poseen todos los conjuntos que son coordinables entre sí es un número natural.

El conjunto de los números naturales se designa con la letra N, y puede escribirse por compresión:

N = {números naturales}

o por extensión:

N = {1, 2, 3, 4,…}

189 ∈N, 34 ∈ N, 2/3 ∉ N, 0,007 ∉ N.

Estructura del conjunto de los número natural

Previamente tendremos que definir las operaciones que pueden realizarse dentro de este conjunto.

1.- Suma de números naturales

Dados dos números naturales a y b definidos por los conjuntos disjuntos A y B, se llama suma de a y b, y se escribe a + b, al número natural que define el conjunto A ∪ B.

Propiedades:

a.- Ley de composición interna o propiedad uniforme de la suma:

j

b.- Propiedad conmutativa:

j

j

c.- Propiedad asociativa:

j

j

c.- Tiene elemento neutro:

j

El conjunto N de los números naturales para la operación de sumar es un semigrupo conmutativo y con elemento neutro.

2.- Producto de números naturales

Dados dos números naturales a y b, representantes de los conjuntos A y B, se llama producto de a y b, que se representa aj b, al representante de la clase de conjuntos A x B (producto cartesiano).

Propiedades:

a.- Es  una ley de composición interna.

b.- Posee la propiedad conmutativa.

c.- Posee la propiedad asociativa.

d.- Tiene elemento neutro, que es el número natural 1.

El conjunto N de los números naturales para la operación de multiplicar es un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

Además: j

j

3.- Potencia de números naturales

Dados dos números naturales m y n, se llama potencia de base m y exponente n, y se escribe: mn a lo siguiente: (mj mj mj…)n, es decir, el producto de n factores iguales a m.

Propiedades:

a.-   j

j

b.-   j

j

j

c.-   j

j

d.-   j

Sistemas de numeración

Los sistemas de numeración son un conjunto de reglas que permiten representar todos los números mediante un número limitado de signos.

El sistema de numeración más utilizado en la actualidad es el de base 10, cuyas cifras son las arábigas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y en el cual, por ejemplo, el número 1.237 representa un número que tiene siete unidades de primer orden, tres de segundo orden, dos de tercero y una de cuarto.

Para explicar mejor un sistema de numeración cualquiera en una base m, vamos a hacerlo mediante un caso concreto, como puede ser el sistema de numeración en base 3:

“n” número natural representante del conjunto

A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, p}

vamos a agruparlo en subconjuntos, disjuntos entre sí, de tres elementos (base del sistema):

{a, b, c} {d, e, f} {g, h, i} {j, k, l}       {m, p}

{m, p} número de unidades de primer orden

Ahora, esas unidades de segundo orden (conjunto de tres elementos) los volvemos a asociar de tres en tres, obteniendo:

{{a, b, c} {d, e, f} {g, h, i}}       {j, k, l}

{j, k, l} Una unidad de segundo orden

{{a, b, c} {d, e, f} {g, h, i}}Una unidad de tercer orden

n = 112

En general, “si m es la base de numeración, cada m elementos forman una unidad de orden inmediato superior”.

Otro sistema muy usado en la actualidad es el de base 2, llamado sistema binario, que utiliza solamente las cifras 0 y 1.

“a” representa al conjunto

A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}

en base 5:

{a, b, c, d, e} {f, g, h, i, j}{k, l, m} = 23,

en base 4:

{a, b, c, d} {e, f, g, h} {i, j, k, l} {m} = 31,

en base 2:

j

en base 10:

{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} {k, l, m} = 13

Pasar de una base a otra:

- De base 10 a una base m.

       136 10) a base 5:

j

13610) = 10215)

- De base m a una base 10.

j

j

Si el sistema de numeración es en una base mayor que 10, se emplean las cifras arábigas, siendo las restantes cifras las primeras letras del alfabeto griego. Así, por ejemplo, en la base 13 las cifras utilizadas serían: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β, γ.

j

El número 123.431 en cualquier base se leerá: ciento veintitrés mil cuatrocientos treinta y uno.

 

Operar en distinta base a 10

En base 2:

j

En base 4:

j

Sistemas de numeración romano

Símbolos:

Principales: I      X      C       M

                 1     10    100   1.000

Secundarios: V     L      D

                   5     50    500

Reglas:

1.-Si una letra se escribe a la derecha de otra de igual o mayor valor, se suman los valores de ambas: VI = 5 + 1 = 6

2.-Si una letra se escribe a la izquierda de otra de mayor valor, se restan los valores de ambas: IV = 5 - 1 = 4

3.-Ninguna letra puede escribirse más de tres veces a la derecha de otra de mayor valor ni más de una a su izquierda.

4.-Las letras secundarias no pueden repetirse ni colocarse a la izquierda de otras de mayor valor.

5.-La letra I sólo se puede escribir delante de V y X. La X sólo delante de L y C, y la C, sólo delante de D y M.

6.-Una raya horizontal colocada sobre una letra o grupo de letras multiplica al número que afecta por 1.000; dos rayas, por un millón, etc.

j

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