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Matemáticas. Números y operaciones (1/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
5,50/10 (2 opiniones) |1127 alumnos|Fecha publicación: 09/06/2010
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Capítulo 9:

 Logaritmización

 

Generalidades

Logaritmización es la operación inversa a la potenciación.

Se llama logaritmo en base b de un número N al exponente a que hay que elevar dicha base para obtener el número N.

j

Propiedades de los logaritmos

1.- El logaritmo de la base es la unidad.

j

2.- En cualquier caso, el logaritmo de 1 es 0.

j

3.- Si la base es mayor que 1, al aumentar el número aumenta su logaritmo. Tienen logaritmo positivo los números mayores que 1 y logaritmo negativo los menores que 1.

4.- Si la base es menor que 1, al aumentar el número disminuye el logaritmo, y en este caso tienen logaritmo positivo los números menores que 1 y negativo los mayores que 1.

5.- Los números negativos no tienen logaritmo real, ya que hemos dicho que la base ha de ser positiva y distinta de 1, y cualquier número positivo elevado a cualquier exponente (positivo o negativo) da como resultado un número positivo.

6.- El logaritmo de 0 en cualquier base es (- ∞)

7.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

j

8.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

j

9.- El logaritmo de la potencia de un número es igual al exponente por el logaritmo de la base.

j

10.- El logaritmo de la raíz enésima de un número M es igual al logaritmo de dicho número M dividido por el índice n de la raíz.

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Ejemplo:

j

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales, o de base 10, son los más utilizados y reciben también el nombre de logaritmo de Briggs. Se escriben “log” sin indicar la base.

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j

j

Logaritmos enteros las potencias de 10; lo tendrán positivo y el valor será el número de ceros que sigue a la unidad.

Los decimales de la forma 0,1 - 0,01 - 0,001…, los tendrán negativos y con un valor igual al número total de ceros incluyendo el que está delante de la coma.

Los logaritmos de todos los demás números no serán enteros, sino que estarán formados por una parte entera llamada característica y una parte decimal llamada mantisa.

 

Cálculo de la característica

A).- Si el número es mayor que la unidad, la característica es un número entero positivo y cuyo valor es el número de cifras que haya antes de la coma disminuido en una unidad.

B).- Si el número es menor que la unidad, la característica es un número negativo cuyo valor absoluto es igual al lugar que ocupa la primera cifra significativa después de la coma.

Cálculo de la mantisa

Lo primero que tendremos en cuenta es que el valor de la mantisa es independiente de la posición de la coma.

j

j

y como n es un número entero, dichos logaritmos sólo se diferenciarán en la característica, pero no en la mantisa.

Se ha convenido que la mantisa es siempre positiva independientemente del signo de la características, para lo cual, si la característica es negativa, el signo “menos” se le coloca encima indicando así que sólo ella es negativa, pero no la mantisa.

Para buscar la mantisa suprimimos la coma y los ceros del final y a continuación miraremos en una tabla de logaritmos.

Para buscar la mantisa, miraremos dónde se cruza la fila encabezada por el número formado por las dos primeras cifras y la columna encabezada por la tercera cifra; al número encontrado en dicho cruce le sumaremos el que está situado en la misma fila, pero en la columna de la derecha del todo, que va encabezada por la cuarta cifra.

Si el número tiene más de cuatro cifras significativas cometemos algo de error, pero podemos acudir al método de interpolación.

j

Característica:  j

Mantisa:   fila 43 y columna        2 = 6355

                fila derecha y columna 8 =      8

j

j

 

Método de interpolación

j

Característica:  j

Mantisa:   Se halla la mantisa de los números

354,70 ⇒ 5499

y

354,80 ⇒ 5500

j

j

j

la variación de la mantisa es proporcional a la variación en el número:

j

El valor obtenido se lo sumamos a la mantisa encontrada para 354,70, y obtenemos la mantisa del número que nos interesa:

j

j

j

j

Antilogaritmo

Se llama antilogaritmo al número que corresponde a un logaritmo dado.

j

j

j

La característica es 3, lo cual indica que el número que buscamos tiene cuatro cifras enteras. La mantisa es 5497 y en la tabla tenemos el 5490 y la diferencia entre ambos es 7.

j

j

j

Cologaritmo

Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco 1/N.

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j

Para calcular el cologaritmo se aplica la siguiente regla: Se suma una unidad positiva a la característica del logaritmo y luego se cambia de signo: las cifras decimales de la mantisa se restan de 9, excepto la última cifra significativa, que se resta de 10.

j

j

Característica:   1 + 1 = 2 ⇒ (−2)

Mantisa:

j

j

Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos son los que tienen como base el número “e”. Suelen escribirse mediante la letra L o bien ln.

j

j

Si tomamos logaritmos en los dos miembros de la última igualdad:

j

buscamos en la tabla el log 2,72

j

luego:

j

j

(2,3 es el inverso de 0,4346)

Para cualquier base:

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Cálculo logarítmico

1).-

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j

j

j

j

2).-

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j

Problema dividir entre 3 característica negativa y mantisa positiva.

j

ó

j

j

y buscamos su cologaritmo, con lo que tenemos de nuevo el logaritmo:

j

j

j

Cuando se realiza el cálculo con logaritmos, siempre que interese, puede pasarse de la forma de característica negativa y mantisa positiva a la de característica y mantisa negativas o viceversa, aplicando la regla de cálculo de cologaritmo.

Ecuaciones logarítmicas

Son aquellas en que la incógnita aparece bajo la operación del logaritmo.

a).- Dejarla en la forma:

j

b).- Tomar antilogaritmos correspondientes y pasarnos a los números:

j

Ejemplo1.-

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j

j

j

j

Ejemplo 2.-

j

los antilogaritmos de 5 y 3 son respectivamente 105 y 103.

j

Ecuaciones exponenciales

Se llama así a aquellas ecuaciones en las que la incógnita figura como exponente.

Ejemplo 1.-

j

en una suma no podemos tomar logaritmos.

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j

j

j

j

j

j

j

Ejemplo 2.-

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Hacer un cambio en la variable

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Vamos a calcular los valores de x

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j

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