Integrales. Ejemplos (2/5)

Ejemplo cinco:

…pero… ¿te imaginas si la integral fuera de ese mismo binomio, pero a una potencia entera más grande? O ¿potencia entera negativa, o potencia fraccionaria, tanto positiva como negativa?

CONSIDERACIÓN: habrá muchos estudiantes que sí entendieron y aprendieron bien a integrar “completando la diferencial”, pero este es un momento que se puede aprovechar para ir aprendiendo uno de los métodos de integración, conocido como “cambio de variable” o también “integración por sustitución” y se verá en su forma más simple, puesto que en el estudio de este método de integración, hay cambios más elaborados.

Pues concéntrate y verás qué interesante es la aplicación del cambio de variable, sobre todo cuando se está incursionando en el aprendizaje de las integrales.
Aplicar un cambio de variable en una integral consiste en presentar la integral original dependiendo de una nueva variable y de su nueva diferencial. Para ello nos “escogemos la parte más complicada” del integrando para que sea representada por una nueva variable….

Regresaremos a la integral del ejemplo cuatro:

Ahora hacemos que el resultado quede en términos de la variable original, sustituyendo la “v” por lo que nos representa:

 
y listo…claro que aparentemente el resultado que obtuviste en el ejemplo cuatro y éste que se acaba de obtener, no son iguales. Pero podemos darnos a la tarea de ver que son equivalentes.

Fíjate. Partiremos de los dos resultados y desarrollaremos este último:

ENTONCES LOS RESULTADOS SON EQUIVALENTES.

Claro que si tuvieras que resolver integrales como las siguientes, te conviene aplicar el mismo cambio de variable a las tres, pero ya con la seguridad de que su resultado tiene equivalencia con el que se hubiera obtenido desarrollando esos binomios “a la n”, si es que se pudieran desarrollar.

 Mira: tres integrales diferentes para las que se propone el mismo cambio de variable.

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