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Capýtulo 4:

 Ejemplos. La derivada (2/3)

Observa que basta que tengas la seguridad de que el valor que vas a sustituir en los factores, esté efectivamente en el intervalo que estés investigándole su signo.

Entonces la interpretación que daremos, es similar a la que hicimos en la gráfica que imprimiste con anterioridad. Y para este primer ejemplo vemos que nos que nos queda así:
Intervalos de una funcion. Derivadas 2
Antes de x= -1, está decreciendo, de hecho lo está haciendo desde y después de x=-1, está creciendo. Por lo tanto el valor crítico   x=-1 es la abscisa de un punto P para el cual la función presenta un MÍNIMO
menos infinito. Derivada
Antes de x= 2, está creciendo, y después de x=2, está decreciendo. Por lo tanto el valor crítico x=2 es la abscisa de un punto Q para el cual la función presenta un MÁXIMO.
Antes de x= 3, está decreciendo, y después de x=3, está creciendo y lo hace hasta   
Mayor infinito. Derivadas

Por lo tanto el valor crítico x=3 es la abscisa de un punto R para el cual la función presenta un MÍNIMO.
Ahora para determinar las ordenadas para esos puntos, sustituimos cada valor crítico en la regla de correspondencia de la función, con lo cual obtenemos:
Regla de la funcion. Derivadas

Ahora intentemos, en papel cuadriculado o milimétrico, el bosquejo de la gráfica.

En este bosquejo también deberemos considerar que en la regla de correspondencia de la forma  y=f(x), el término constante nos representa la ordenada al origen del punto donde la gráfica corta al eje “y”, sus coordenadas son (0, c), siendo c esa constante.

En nuestro ejemplo (0,-2) son las coordenadas de dicho punto de corte de la gráfica con el eje “Y”
Ejeplo de coordenadas. Derivadas
Hasta aquí, hemos utilizado el análisis que ya estás aprendiendo a hacer, para darnos una idea  de cómo es el bosquejo de la gráfica de nuestra función, debido al buen uso de la aplicación de la primera derivada.

Una foto más completa, la iremos obteniendo utilizando lo referente al tema de intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

Volveremos a poner nuestra atención en la primera gráfica que imprimiste  al principio del tema anterior.

No sabemos cuál sea la regla de correspondencia  de esa función.

Al volverla a observar, puedes darte cuenta que su gráfica, se “curvea” hacia arriba y también hacia abajo en ciertos intervalos del eje “X”.

Esos intervalos los vamos a determinar analíticamente así como los valores críticos de x, para los cuales  hay puntos de la gráfica donde ella, cambia de sentido de curvatura o sentido de concavidad. Estos puntos son los puntos de inflexión.

En la gráfica que tienes en tus manos, concéntrate en los puntos S y T y te puedes dar cuenta:

Que antes de S, la gráfica se “curvea” hacia arriba.
Que después de S, la gráfica se “curvea” hacia abajo.
Que antes de T, la gráfica se “curvea” hacia abajo, y
Que después de T, la gráfica se “curvea” hacia arriba.

Los intervalos que determinan estos valores críticos son:
Intervalos de valores criticos. Derivadas

Con esta nueva información podremos avanzar más en el bosquejo de la gráfica de la función.

Capýtulo siguiente - Ejemplos. La derivada (3/3)
Capýtulo anterior - Ejemplos. La derivada (1/3)

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