B. DISTRIBUCIÓN NORMAL

40    ¿Qué significa ESTIMACIÓN DE LA MEDIA poblacional?

Estimación significa que, aunque no podemos conocer, con  exactitud, la Media de una Población, sin embargo, podemos calcular, con buena aproximación,  este parámetro, utilizando la teoría estadística.  

Esta estimación se hace con base en que, según el Teorema del Límite Central, las Medias muestrales se distribuyen en forma NORMAL, alrededor de la Media Poblacional. Es decir, esta estimación se hace utilizando los conocimientos estadísticos sobre la Curva Normal.

41  ¿Cómo  o se hace para ESTIMAR la Media de una Población?

Se siguen los siguientes pasos:

1)    Se determina el tamaño apropiado de la muestra.  Ejemplo. Tomar n =36 muestras de la producción diaria de unos tornillos.  Esta es una muestra GRANDE,  n mayor que 30
2)    Se ha determina cuál es el aspecto que vamos a  estudiar. Ejemplo: el diámetro, en cm.
3)    Se miden con cuidado, cada uno de  los 36 tornillos. Tenemos 36 resultados.
4)    Aplicando la Estadística Descriptiva, se calcula la Media y la Desviación Estándar de estos 36 datos. Ejemplo.  Sea  X Barra =  7.69 cm.;  s =  0. 12 cm.   n = 36.
5)    Se aplica la siguiente fórmula que nos da  un INTERVALO  donde  con bastante probabilidad  se encuentra la Media Poblacional.
* La probabilidad de que la Media real se encuentre en el intervalo estimado se llama CONFIANZA. La Confianza más usada es el 95%.  Por eso se usa el coeficiente 1.96

FORMULAS DEL INTERVALO DE CONFIANZA 95% para la Media.
      
Límite Inferior   de la Media poblacional = LI  Mu =   XBarra - 1.96 * (s / Raiz (n) )
       Límite Superior de la Media poblacional =  LS MU =  XBarra + 1.96 * (s / Raiz (n) )

Aplicación: usando nuestros datos, podemos hacer la estimación del diámetro promedio
de toda la producción (pasada, presente y futura)  de la máquina que estamos estudiando:

Limite  Inferior  del diámetro promedio=  7.69 -  1.96 * ( 0.12 / Raíz (36) )  =  7.67 cm.
Limite  Superior del diámetro promedio=  7.69 +  1.96 * ( 0.12 / Raíz (36) ) = 7.71 cm


C. DISTRIBUCION BINOMIAL

42   ¿ Cuáles son las características  de una Distribución Binomial?

En Estadística se entiende por Fenómeno, cualquier actividad física,  cuyos resultados podemos MEDIR u OBSERVAR. 

    Se dice que un Fenómeno es BINOMIAL cuando tiene las siguientes características:

-    El fenómeno es OBSERVABLE. No requiere instrumento de medición ni unidad de medida.
-    El fenómeno tiene SOLO DOS RESULTADOS, respecto a la característica que estamos estudiando. SE TIENE o NO SE TIENE.   O sea solo hay EXITOS o FRACASOS.

Ejemplo: respectos a "las calificaciones de un examen", solamente nos interesa si  es     APROBADO o APLAZADO, no nos interesa el valor de la medición. Supóngase que en una clase de 42 alumnos hubo  31 Aprobados y 11 Aplazados.  Siendo X = número de éxitos = 31

-    La medición de la característica se realiza  n veces. 
-    El porcentaje o PROPORCIÓN MUESTRAL de los que tienen la característica,  es decir EXITOS, se indica por P.
      P = X/n  En nuestro ejemplo:  P = 31/ 42 =  0. 738 = 73.8%
-    El porcentaje o PROPORCIÓN MUESTRAL de los que NO tienen la característica, es decir FRACASOS, se indica por Q.
Q =  1 - Q  =  1 - 0.738  =  0.262 =  26.2 %

43   ¿ Cómo se hace para Estimar  el  PORCENTAJE poblacional?

Tomaremos los mismos datos del ejemplo anterior y queremos estimar, con ellos,  cuál es el Porcentaje histórico de Aprobados que  se ha tenido en esa asignatura, en ese colegio.

*  Los datos que tenemos son:   n= 42      P = 0.738   Q = 0.262    (para hacer cálculos no usamos %)
    * La Confianza más usual para  la Estimación  parámetros poblacionales es  95% y el Coeficiente  Normal que utiliza es 1.96.
    * El porcentaje o PROPORCIÓN POLACIONAL de los que tienen la característica,  es decir EXITOS, se indica por  p  (minúscula). Este es el parámetro que debemos estimar. 
         
    FORMULAS DEL INTERVALO DE CONFIANZA 95% para la Proporción Poblacional

       Límite Inferior   de la Proporción poblacional = LI  p =  P -  1.96 * ( Raíz ( P* Q / n) )
       Límite Superior de la Proporción poblacional =  LS p  =  P + 1.96 * ( Raíz ( P* Q / n) )
 
Aplicación: usando nuestros datos, podemos hacer la estimación del Porcentaje histórico de  alumnos Aprobados  en esta asignatura y en este  Colegio que estamos estudiando:

Límite  Inferior  del  % Aprobados= 
LI p =  0.738 -  1.96 * (Raíz (0.738*0.262/42 )  =  0.871 = 87.1%

Límite  Superior del % Aprobados =
LS p =  0.738 +  1.96 * (Raíz (0.738*0.262/42 )  =  0.605 = 60.5%

           Interpretación: El Porcentaje Histórico de Aprobados en esta asignatura, en este Colegio está entre: 87.1% y 60.5%.

-    Si el año próximo el % de Aprobados en esa asignatura, es superior a 87.1% habría que felicitar al Profesor, pues ha superado el promedio histórico (aunque puede deberse a circunstancias especiales de este grupo).
-    Lo mismo, si el resultado fuera inferior a 60.5% habría que revisar los métodos de enseñanza del profesor, pues está por debajo del promedio histórico. (aunque puede deberse a circunstancias especiales de este grupo). 
-    Mientras, el % de aprobados en esa asignatura, esté entre los Límites Estimados, el proceso está dentro de lo  esperado. El reto está, entonces, en elevar el % histórico de Aprobación.