D. CALCULO DE LA MEDIA Y DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

24   ¿Hay varios tipos de MEDIA?

Sí, hay varios tipos de Media, que se les denomina, en forma general, como PROMEDIOS.

Hay Media Aritmética, Media Geométrica, Media Armónica.

Nosotros vamos a referirnos solo a la Media Aritmética. Al decir Media, entenderemos Media Aritmética.

La Media puede ser: Simple o Ponderada.

Media Simple: se aplica cuando todos los datos tienen igual importancia.
Media Ponderada: se aplica cuando los datos tienen diferente importancia, y según sea la importancia se le da un valor de ponderación. Las ponderaciones pueden ser, a veces, sujetivas. En otros casos la ponderación es objetiva, como sería el caso en que la ponderación es igual número de veces que aparece una  misma medición.

25   ¿Cómo se calcula la media cuando son pocos datos?

*  Fórmula para calcular la Media Simple:
Media Simple: X BARRA = Suma de los datos / Número de sumandos

Ejemplo: Calcule la Media Simple de: 7.2, 5.8, 6.6, 5.9, 6.4, 7.1
                 X BARRA = (7.2 + 5.8 + 6.6 + 5.9 + 6.4 + 7.1) / 6 =  39.0/6 = 6.5

*   Formula para calcular la Media Ponderada:
Media Ponderada: (X BARRA)Pond =  Suma de Productos / Suma de ponderaciones.

Ejemplo: La venta (millones de colones) de los últimos tres años son: 15.4, 16.8, 18.8. Calcule la media de estas ventas, de modo que la ponderación sea 1, 3, 4. Es decir, se le quiere dar mayor peso a las ventas más recientes.

Ventas (X)                   Ponderación (P )                 Producto (X.P)
    15.4                                    1                                       15.4
    16.8                                    3                                       50.4
    18.8                                    4                                       75.2
    Suma                                 8                                       141.0

(X BARRA) Pond =  141.0 / 8  =  17.62  millones de colones.

26   ¿Hay varios tipos de Desviación Estándar?

Los datos o mediciones de un estudio pueden ser la totalidad del estudio, que se denomina POBLACIÓN,  o bien, pueden ser una parte, que se denomina MUESTRA tomada de la población.  Por tanto hay dos tipos de Desviación Estándar:

Desviación Estándar Poblacional: que se simboliza con la letra griega sigma.
Desviación Estándar Muestral: que se simboliza con la letra minúscula latina s.

NOTA: Solamente explicaremos la Desviación  Estándar Muestral porque la mayoría de los estudios se realizan con muestras.

27   ¿Cómo se calcula la Desviación Estándar cuando son pocos datos?

    Desviación Estándar:  s = RAIZ (Suma de las desviaciones cuadráticas / (n - 1) )
            Desviación = valor de cada medición - valor de la media.
                                     n = número de observaciones de la muestra. (Nota: el tamaño de la Población se indica con  N mayúscula)

    Ejemplo:  Calcule  la Desviación Estándar de la siguiente muestra:
        X :  7.2, 5.8, 6.6, 5.9, 6.4, 7.1       n = 6  datos ( tamaño de la muestra)
       
    X BARRA =  6.5    ( ver el ejemplo del cálculo de la Media Simple en la pregunta 2.8)

Suma de la Desviaciones cuadráticas:
= (7.2 - 6.5)2 + (5.8 - 6.5)2 + (6.6 - 6.5)2 + (5.9 - 6.5)2 + (6.4 - 6.5)2 + (7.1 - 6.5)2= 1.72

Desviación Estándar  s =  Raíz ( 1.72 / 5 ) = 0.59

28 ¿Cómo se calcula la Media y Desviación Estándar con muchos datos?

    Cuando son muchos datos, los cálculos de la Media y al Desviación Estándar son muy laboriosos y se debe proceder  a preparar una  Tabla de Distribución de Frecuencias. En el Apéndice No. 4 aparecen estos cálculos con los datos agrupados.

NOTA: cuando uno tiene a mano un computador, el Programa EXCELL ejecuta estos cálculos en forma muy sencilla y rápida. 

29     Hay alguna relación entre el RANGO y la DESVIACIÓN ESTÁNDAR?

Sí, existe esta relación. Y esto es muy útil porque, utilizando esta relación, se puede calcular, en forma aproximada, la Desviación Estándar de una muestra por medio del RANGO. La ventaja que se tiene, es que el cálculo  del Rango es sumamente sencillo, mientras que el cálculo exacto de la Desviación  Estándar es muy engorroso, sobre cuando la muestra es muy grande.
Rango de la Muestra =  R  =  Valor Mayor menor -  valor menor
Hay Tablas que  dan  los factores d2 que, aplicados al Rango,  permiten calcular, en forma aproximada, la Desviación Estándar según el tamaño n de la Muestra.

Fórmula :      s = aprox. ( R / d2)

    Tabla No. 1  Factores para determinar  s  en función de n

    Ejemplo: Calcule, en forma aproximada, la Desviación Estándar de una muestra, cuyas mediciones fueron:   26,40 ; 26,80 ; 27.10 ; 26.90

    Solución:  Rango =  27,10 - 26,40 =  0,70
          Factor d2  =  2,059   (de la Tabla, con  n = 4)   

           s aprox. =   0,70 / 2,059  =  0,34

NOTA:  El valor exacto de la Desviación Estándar de la muestra e s   s = 0.29     
       Redondeados a un decimal ambos resultados dan:  0,3