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Capítulo 21:

 Estadística. Conceptos de Probabilidad y aplicaciones prácticas (5/10)

Probabilidades condicionales bajo independencia estadística

Hasta ahora vimos dos clases de probabilidad: la probabilidad marginal (o incondicional) y la probabilidad conjunta; la primera representada por (PA) y la conjunta por P(AB)

La Probabilidad Condicional que analizaremos ahora se representa por P(B/A) que muestra dos eventos: A, y B.

De esta manera, la Probabilidad Condicional P(B/A) representa el caso en que el segundo evento B ocurre luego que el primero, A, ya ha tenido lugar.

Es decir, nos dice cuál será la probabilidad del evento B una vez que el evento A ya ocurrió; observemos el proceso que sigue el SPSS.

Antes de continuar, recordemos que para dos eventos independientes, A y B, la ocurrencia del evento A nada tiene que ver con el la ocurrencia del evento B.

La probabilidad de lograr una cara en un segundo lanzamiento, después de que el primero dio un resultado, seguirá siendo 0.5, debido a que ambos eventos son independientes.

A continuación diseñaremos una ayuda-memoria para eventos estadísticamente independientes; la probabilidad marginal, llamada también “incondicional” es (PA)

Tabla 4.3

Probabilidades Condicionales

 
 

Tipo de Probabilidad            Símbolo                      Fórmula

Marginal                                    P(A)                              P(A)

Conjunta                                   P(AB)                       P(A) x P(B)

Condicional                               P(A/B)                        P(B)

 

Probabilidad Condicional Bajo Dependencia Estadística

Antes de proponer la definición formal, vayamos a un ejemplo ilustrativo.

Hay una caja que contiene diez bolas de colores, distribuidas de la manera siguiente:

Tres bolas son de color y tienen puntos

Una es de color y tiene franjas

Dos son grises y tienen puntos

Cuatro son grises y tienen franjas

Siguiendo a Levin y Rubin, hacemos un cuadro para visualizar las condiciones del problema; hay diez bolas, la probabilidad de sacar una cualquiera de ella es 1/10 = 0.10.

Tabla 4.4

La distribución de las diez bolas

 
 

Evento                        Probabilidad del Evento

    1                             0.1

    2                             0.1  (De color y con puntos)

    3                             0,1

    4                             0.1  (De color y con franjas)

    5                             0.1  (Grises y con puntos)

    6                             0.1

    7                             0.1

    8                             0.1  (Grises y con franjas)

    9                             0.1

  10                             0.1

 

Supongamos que alguien saca una bola de color:

¿Cuál es la probabilidad de que tenga puntos?

Simbólicamente, el problema puede representarse como P(D/C), es decir: ¿Cuál es la probabilidad de que la bola tenga puntos (D) dado que es de color (C)?

(Vemos que D representa una bola con puntos, C, de color)

Queremos saber la probabilidad de que, siendo la bola de color, que también tenga puntos; para ello, ignoramos las bolas grises, pues no cumplen con ninguna condición dada.

Sólo tomaremos en cuenta las que restan.

Hay cuatro bolas de color, tres de las cuales tienen puntos y la cuarta tiene franjas; con esa información sólo tenemos que encontrar las probabilidades sencillas.

Ahora deseaos saber la probabilidad de que la bola tenga puntos y de que tenga franjas

Para ello nos damos cuenta que el total de bolas que tienen color son 4 y las que tienen color y puntos son tres.

Por lo tanto, la probabilidad de una bola a color con puntos es P(D/C) = ¾ = 0.75

Por otro lado, si nos fijamos en la tabla 4.4 hay una sola bola de color y con franjas.

Por lo tanto, la probabilidad de color con franjas es = ¼ = 0.25; ambas suman 1.

En el próximo capítulo veremos la fórmula general sobre la probabilidad condicional

Algunos ejemplos adicionales

¿Cuál es la  probabilidad de que la bola tenga puntos, dado que es de color?

Esta pregunta equivale: ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea de color y tenga puntos (son 3 casos de un total de 10) entre la probabilidad de que sea de color.

Probabilidad de que la bola sea de color y tenga puntos = 3/10 = 0.3

Probabilidad de que la bola sea de color = 4/10 = 0 0.4

La probabilidad de que la bola tenga puntos, dado que es de color, es = 0.3/0.4

Continuamos los datos de la tabla 4.4

¿Cuál es la probabilidad de que la bola tenga puntos, dado que es gris?

Por otra parte, ¿Cuál la probabilidad de que la bola tenga franja, dado que es gris?

Para la primera parte del problema, vemos en la tabla vemos que:

La probabilidad de bolas grises con puntos = 2/10 = 1/5 = 0.20

La probabilidad de que sea gris es 6/10 = 3/5 = 0.60

La probabilidad de que la bola tenga puntos dado que es gris es = 0.20/0.60 = 0.33

En la segunda parte, de que la bola tenga franja es = 5/10 = 0.5

La probabilidad de una bola que tenga franja, dado que es gris es = 6/10 = 3/5 = 0.60

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