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Capítulo 74:

 Análisis comparativo entre ANOVA y test "t"

En el capítulo referido a la presentación inicial del ANOVA dijimos que la palabra deriva de sus iniciales en inglés Análysis of Variance.

Conceptos

El Test “t” es muy útil para muestras pequeñas y para establecer la diferencia entre las Medias Aritméticas de dos variables solamente.

ANOVA amplía el rango del “t” test para determinar si las medias de varios grupos, no sólo de dos, son o no iguales

Si tenemos deseamos analizar la variabilidad de una variable numérica debido al comportamiento de otra, pero de tipo categórica, ésta última recibe el nombre factor

En este caso, estaremos hablando del análisis de la varianza para un solo factor, aunque este factor, a pesar de ser solo uno, puede tener varios niveles.

Un ejemplo sería el análisis de los promedios del ingreso de dos grupos independientes de funcionarios de dos empresas, de acuerdo con el grado de educación que tienen.

La variable dependiente, cuantitativa, será el Ingreso.

El grado de educación será el factor

Las fases: primaria, secundaria, universitario y post grado serán los niveles del factor educación

ANOVA compara las medias de ambos grupos para establecer si hay o no diferencia y, en su caso, el grado de diferencia.

Estos niveles pueden ser fijos, tales como los que acabamos de describir; también pueden ser aleatorios; v.g, si se escoge al azar las empresas que participarán en el estudio.

Si los resultados proporcionados por las muestras no tienen errores sistemáticos, sus medias no serán significativamente diferentes entre sí.

La dispersión que pudiera notarse se deberá a errores aleatorios que representarán la dispersión de los elementos de una muestra

Fuentes de variación

Habrá dos fuentes de variación cuando comparamos dos muestras:

La que se debe a la diferencia de los estadísticos que separan ambas medias.

La que se debe a los errores dentro de cada muestra.

La Suma Total de Cuadrados

La Suma total de estas variaciones se denomina Suma Total de Cuadrados = SST

Esta Suma Total se descompone en dos sumas de cuadrados.

ST Es la suma de las diferencias al cuadrado de cada resultado individual con relación a la Media de todos los resultados, por lo que representa la variación total de los datos.

SSI Mide las desviaciones entre los resultados individuales de cada muestra con relación a su propia Media, por lo que es una medida de dispersión dentro de cada muestra.

SSE mide las diferencias entre los resultados medios de cada muestra y el resultado medio global de todas las muestras; de este modo se tiene:

STT = SSI + SSE

Si se divide SSI  por los correspondientes grados de libertad se obtiene la Media Cuadrática (Mean Square) dentro de cada muestra (MSI)

De esta manera, STT = SSI + SSE

¿Por qué “Diferencia de cuadrados”?

Tomemos la siguiente serie de números: 1, 2, 3, 4, 5

La Media aritmética de esa serie será: (1 + 2 + 3 + 4 + 5)/5 = 3

Ahora bien, tomemos la suma de cada elemento individual con relación a la media:

(1 – 3), (2 – 3), (3 – 3), (4 – 3), (5 – 3) y las sumemos, -2 + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0

El resultado es 0: los valores negativos de las diferencias se contrapesan con los positivos

Para evitar que eso suceda, se suma los cuadrados de las diferencias, puesto que los cuadrados de números negativos o positivos siempre serán positivos.

De esta manera tendremos:

(1 – 3)2 + (2 – 3)2 + (3 – 3)2 +  (4 – 3)2 +  (5 – 3)2 = 1 + 1+ 0 + 1 + 4 = 7

Éste resultado es la Suma de Cuadrados, que se usa para medir las diferencias.

Por el momento, nos enfocaremos en el modelo ANOVA de una sola vía (One way ANOVA).

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