Problema:

Partamos de construir un triángulo escaleno.  En uno de sus ángulos tracemos la bisectriz (representada en rojo en la figura).  Y en el lado opuesto a dicho ángulo, tracemos la mediatriz (representada en azul en la figura).  Marcamos el punto donde se cruzan ambas líneas.

Nótese lo siguiente:
 El ángulo c quedó `partido´ al medio, por lo que cada parte del ángulo son iguales.
 El segmento C también queda cortado al medio, por lo que son iguales los segmentos  

En la próxima figura hacemos lo siguiente:

Al punto de cruce de las semirrectas trazadas, le llamamos X.

Desde este punto, trazamos dos segmentos hacia a y b respectivamente (representados en verde).  Y dos más hacia el punto medio de A y hasta el punto medio de B (representados en negro).

De esta manera nos quedan 6 triángulos formados dentro del triangulo inicial: I, II, III, IV, V y VI.

Ahora bien, los triángulos I y VI son iguales, uno reflejado respecto del otro. Se puede decir que como c1 y c2 son iguales, y ambos son rectángulos en los puntos medios de B y A respectivamente, los lados desde X a estos puntos medios son iguales; y los ángulos que forman dichos lados con la línea roja (la hipotenusa de ambos) son iguales.  Por lo tanto, B1 y A1 son iguales. Esta última condición es la que nos interesa.

Por otro lado, los triángulos III y IV también son iguales, por argumentos similares: como ambos triángulos son rectángulos en el punto medio de C, y tienen el lado azul (que va desde X al punto medio de C) en común, los ángulos a1 y b2 son iguales (ya habíamos aclarado que los segmentos C1 y C2 son iguales). Cumpliéndose todo esto, es inevitable que los lados verdes (desde X hacia a y b respectivamente) sean iguales.  Esta última observación se debe tener en cuenta.

Ahora vayamos a los triángulos II y V: 

Ambos son rectángulos: en el punto medio de B el II, y en el punto medio de A el triangulo V.

Las hipotenusas de ambos (las líneas verdes) son iguales.

Por lo tanto, los lados en negro (segmentos desde X al punto medio de B y A), que son iguales, se pueden escribir como el seno de los respectivos ángulos opuestos.  El seno de a2 por la hipotenusa, en el triangulo II, da el valor de este lado en negro.

Lo mismo en el triangulo V: el lado en negro es el seno de b1 por la hipotenusa.

Habíamos dicho que ambos lados negros eran iguales, por lo tanto, son iguales las fórmulas para hallarlos:

Puesto que dijimos que las hipotenusas eran iguales, llegamos a la conclusión de que a2=b1.

Sabiendo esto, la próxima observación es sencilla:

De ambos triángulos sabemos 2 lados y 2 ángulos.  Podemos averiguar el otro lado sin dificultad (los segmentos B2 y A2).

Usando las propiedades que conocemos sobre triángulos:

Evidentemente, como las hipotenusas son iguales (las líneas verdes) y también son iguales a2 y b1 por lo que deducimos recién, obtenemos A2=B2

En definitiva, encontramos que B1=A1 y B2=A2.

Por lo tanto llegamos a la conclusión: A=B. (Encontramos que dos de sus lados son iguales!).

O sea, este triangulo se transformó, solo por el hecho de medir sus lados, de escaleno a isósceles.