Recordar:

Cota: elemento a partir del cual se puede delimitar un subconjunto de valores.  Si la cota es superior, se dice que ningún elemento del subconjunto supera el valor de la cota. Por ejemplo, una cota superior de la edad de las personas puede ser 125 años, o, mas aún, 3000 años. (No vamos a encontrar nunca, supuestamente, una edad superior a la cota, aunque sí puede ser igual).

Solución:

La solución a este problema es bastante sencilla. 

Esta situación, mas allá de ser una curiosidad matemática, es una demostración válida de porqué el conjunto de los números (naturales o reales, por ejemplo) no es acotado (superiormente).

Y justamente en eso radica el error, en el suponer una cota superior para el conjunto, que es n, de tal manera que ningún otro número del conjunto sea mayor a este.

Entonces, se llega a un resultado que obviamente es un absurdo.  Lo que implica que no hay cota en este conjunto: siempre se puede encontrar un número mayor al más grande que hayamos encontrado.

Igualmente se quiere aclara que al resultado al que se llega cuando decimos que el cuadrado de n es menor (o igual) que el mismo n, es perfectamente valida, basándonos en las hipótesis del problema.  (La hipótesis de que existe una cota es la que nos introduce esa extraña condición).